▶ ▶ ▶ Slidy

Transportní jevy

Pochopení a modelování transportních dějů je důležité pro většinu technických oborů. Podstata těchto dějů je často odlišná, přesto mají navenek podobné chování a tím je umožněn jednotný přístup při matematickém modelování.

Příklady transportních dějů

Obecná bilance veličiny, která má zdroje a spotřebiče a je přenášena tokem vypadá následovně.

Zákon zachování (se zohledněním toku a zdrojů) je vlastně celková bilance stavové veličiny. Přirozeným jazykem je možno tuto bilanci formulovat následovně.

Přírůstek množství veličiny je součtem přírůstku způsobeného tokem a přírůstku ze zdrojů. Akumulace je přítok plus zisk z interních zdrojů.

Toto je jednoduchý, ale přitom neuvěřitelně silný nástroj, který umožní popsat řadu zcela odlišných dějů. Pro použití v matematickém modelu ale musíme jednotlivé pojmy kvantifikovat. Měřit rychlost, s jakou se mění množství veličiny v daném místě umíme pomocí derivace podle času. Měřit změny v toku přenášejícím sledovanou veličinu jsme se naučili jako jednu z prvních aplikací parciálních derivací: jedná se o záporně vzatou derivaci podle prostorové proměnné vynásobenou fyzikální materiálovou konstantou. Ještě se musíme naučit měřit změny v toku ve dvou nebo třech dimenzích.

Změna toku vektorového pole

Divergence a tok pole \vec q=(0,Q, R) tělesem nenulového objemu. Tok je zobrazen vždy ve středu stěny. Červené vektory vstupují do krychle a příslušné toky se počítají záporně. Modré vystupují ven a počítají se kladně. V tomto případě je celková bilance kladná, z objemu více vyteče, než vteče dovnitř. Divergence je kladná. Pokud v krychli množství veličiny neubývá, musí tam být zdroj této veličiny.
Divergence a tok pole \(\vec q=(0,Q, R)\) tělesem nenulového objemu. Tok je zobrazen vždy ve středu stěny. Červené vektory vstupují do krychle a příslušné toky se počítají záporně. Modré vystupují ven a počítají se kladně. V tomto případě je celková bilance kladná, z objemu více vyteče, než vteče dovnitř. Divergence je kladná. Pokud v krychli množství veličiny neubývá, musí tam být zdroj této veličiny.

Budeme sledovat tok vektorového pole a bude nás zajímat, o kolik se tok v daném místě mění.

Divergence

Výše uvedenými úvahami je motivována následující definice a věta. (Definice je maličko nepřesná, protože nemáme nástroje pro pečlivější formulaci.)

Definice (divergence).

Divergence vektorového pole \(\vec F\) v daném bodě je převis toku vektorového pole z tohoto místa nad tokem do tohoto místa. Tento tok se počítá přes hranici infinitezimálně malého referenčního tělesa a je vztažený na jednotku objemu. Divergenci vektorového pole \(\vec F\) označujeme \(\mathop{\mathrm{div}}\vec F\) nebo \(\nabla \cdot \vec F\).

Věta (výpočet divergence).

Pro vektorovou funkci \[\vec F=(P,Q,R)=P\vec i + Q\vec j + R\vec k,\] kde \(P\), \(Q\) a \(R\) jsou funkce tří proměnných \(x\), \(y\) a \(z\) vypočteme divergenci vztahem \[\mathop{\mathrm {div}}\vec F=\nabla\cdot\vec F=\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}.\] Pro vektorovou funkci dvou proměnných vypočteme divergenci analogicky, pouze chybí třetí člen.

Poznámka (linearita divergence).

Divergence zachovává součet a násobení konstantou, tj. pro libovolné vektorové funkce \(\vec F\) a \(\vec G\) a konstantu \(c\) platí \[\nabla \cdot (\vec F+\vec G)=\nabla \cdot \vec F +\nabla \cdot \vec G, \qquad \nabla \cdot (c\vec F)=c\nabla \cdot \vec F.\]

Poznámka (fyzikální interpretace divergence).

Vektorové pole používáme k modelování toku veličin, které nás zajímají (teplo v materiálu, tekutina nebo chemická látka v materiálu, voda nebo plyn v půdě a podobně). Divergence vektorového pole udává tok z jednotkového objemu látky v daném místě. Udává, jestli se v daném místě a čase tok nabývá na intenzitě (kladná divergence) nebo ustává (záporná divergence). Tento efekt může být způsoben tím, že veličina přenášená tímto polem se v daném místě buď kumuluje, nebo ubývá a také tím, že daná veličina v bodě může vznikat nebo zanikat.

Divergence je lokální veličina. Udává informaci o daném bodě. Pro měření však je nutné mít konečný objem a pro stanovení toku konečně velkou hranici. Vzájemný vztah mezi lokální veličinou a konečným objemem je založený na předpokladu, že podmínky se nemění skokem a okolí každého bodu jsou nepříliš odlišné od podmínek v okolních bodech.

Poznámka (fyzikální interpretace divergence v měřitelných pojmech).

Protože tok přes hranici umíme měřit u těles, představíme si okolo bodu který nás zajímá, těleso. Například kouli nebo krychli. Poté určíme tok přes hranici. Tok hranicí ven počítáme kladně a dovnitř záporně. Celkový tok hranicí určíme jako součet přes všechny části hranice. Podíl celkového toku přes hranici tělesa a objemu tohoto tělesa je odhad pro divergenci v daném bodě.

Přesnou divergenci získáme postupem uvedeným v předchozí poznámce, pokud limitním přechodem stáhneme rozměry tělesa k nule.

Pokud se daném místě množství veličiny nemění s časem, tj. žádná veličina se tam neakumuluje ani neubývá, mluvíme o stacionárním proudění a stacionárním poli. Situace se zjednoduší, protože potom divergence souvisí jenom s přítomností zdrojů a spotřebičů.

Poznámka (praktická interpretace divergence stacionárního pole).

Pokud při ustáleném proudění je v některém místě divergence kladná, znamená to, že v tomto místě musí být zdroj této veličiny. Pokud je záporná, je v daném místě spotřebič. Pro pohodlí při popisu toku bereme spotřebiče jako záporné zdroje. Vektorové pole, jehož divergence je rovna nule, se nazývá nezřídlové pole. To proto, že pokud toto pole popisuje ustálený tok, tak se jedná o tok v prostředí bez zdrojů a spotřebičů.

Ze střední školy z fyziky umíme modelovat vektorové pole pomocí siločar. Ty začínají ve zdrojích a končí ve spotřebičích. Siločáry stacionárního nezřídlového pole nikde nezačínají ani nekončí a jsou to uzavřené křivky. Například stacionární magnetické pole je nezřídlové. Absence zdrojů magnetického pole se projevuje tak, že rozříznutím tyčového magnetu vzniknou dva menší plnohodnotné magnety. Nevznikne samostatný jižní pól a samostatný severní pól magnetu. To je rozdíl oproti poli elektrickému, kdy rozdělením tyče s opačně nabitými konci vznikne jedna kladně nabitá a jedna záporně nabitá tyč poloviční délky.

Výpočet divergence

Viz cvičení. Jedná se o prosté derivování se následným sečtením derivací.

Rovnice kontinuity

V celkové bilanci se nemusí nutně uplatnit všechny tři členy. Například při studiu tepelné vodivosti dřevěných panelů se měří tok tepla po dosažení rovnovážného ustáleného stavu, tj. derivace podle času je nulová. Na obrázku měřící zařízení ve VCJR v Útěchově.
V celkové bilanci se nemusí nutně uplatnit všechny tři členy. Například při studiu tepelné vodivosti dřevěných panelů se měří tok tepla po dosažení rovnovážného ustáleného stavu, tj. derivace podle času je nulová. Na obrázku měřící zařízení ve VCJR v Útěchově.

Matematickou formulací celkové bilance je rovnice kontinuity. \[ {\frac{\partial u}{\partial t}=\sigma -\nabla\cdot \vec \jmath} \]

Poznámka (fyzikální interpretace členů rovnice kontinuity).

V matematice často rovnici kontinuity uvažujeme ve výše uvedeném tvaru. Při praktickém použití většinou preferujeme názornou interpretaci jednotlivých veličin a proto se v rovnici mohou objevit další konstanty úměrnosti, které umožní sladit jednotky a fyzikální interpretaci členů. Někdy se naopak snažíme konstanty co nejvíce redukovat metodami transformace popsanými v přednášce o diferenciálních rovnicích. Proto volíme vhodné násobky veličin vystupujících v matematické formulaci tak, aby se co nejvíce konstant eliminovalo, případně shluklo do jediné veličiny. Zkušenosti ukazují, že je vhodné volit veličiny bezrozměrné. Například v publikaci P. Horáček, Fyzikální a mechanické vlastnosti dřeva I je zavedena bezrozměrná vlhkost, bezrozměrný čas a bezrozměrná vzdálenost na straně 61 pro rovnici popisující difuzi a charakteristická délka, Biotovo číslo (bezrozměrná tepelná vodivost) a bezrozměrná teplota, bezrozměrný čas a bezrozměrná vzdálenost pro rovnici popisující vedení tepla na stranách 88 a 89.

V této rovnici není zahrnut případ, kdy se veličina přenáší ještě i prouděním hmotného prostředí (konvekce).

Rovnice mělké vody

Rovnici kontiuity známe ze středoškolské fyziky pro ustálené proudění. Naše obecnější formulace umí zachytit i nestacionární stav. Zdroj: pixabay.
Rovnici kontiuity známe ze středoškolské fyziky pro ustálené proudění. Naše obecnější formulace umí zachytit i nestacionární stav. Zdroj: pixabay.

Rovnici kontinuity můžeme použít pro popis vody v řečišti. Úloha je jednodimenzionální a tok \(Q\) je skalární veličina. Divergence toku se díky jednodimenzionálnosti redukuje na derivaci podle prostorové proměnné \(\frac{\partial Q}{\partial x}\). Zachovávající se veličinou je množství vody. Hustota zachovávající se veličiny je množství vody na metr délky toku, tj. \(A\) (obsah průřezu říčního toku v daném místě). Zdroje zpravidla neuvažujeme, tj. \(\sigma=0\). Rovnice kontinuity má potom tvar \[ {\frac{\partial A}{\partial t}= - {\frac{\partial Q}{\partial x}}} \] a nazývá se Saint-Venantova rovnice nebo též rovnice mělké vody. Tato rovnice se používá při popisu proudění v korytě nebo při modelování vln tsunami.

Difuzní rovnice

Difuzní rovnice je rovnice kontiuity s dosazeným konstitučním vztahem pro tok. Použijeme-li pro kvantifikaci souvislosti toku a gradientu lineární aproximaci, je možné psát \[ \vec \jmath=-D\nabla u,\] kde \(D\) konstanta úměrnosti. Pokud tok \(\vec \jmath\) a gradient \(\nabla u\) leží v jedné přímce, je \(D\) reálné číslo, jinak je \(D\) matice. Například při studiu pohybu vody ve dřevě se voda řídí nejen směrem maximálního poklesu vlhkosti, ale stáčí se současně do podélného směru, ve kterém dřevo vede vlhkost nejlépe. V takovém případě je \(D\) matice. Spojením rovnice kontinuity \[ {\frac{\partial u}{\partial t}=\sigma -\nabla\cdot \vec \jmath} \] a vztahu pro tok stavové veličiny dostáváme rovnici \[ {\frac{\partial u}{\partial t}=\sigma - \nabla\cdot \bigl(-D\nabla u\bigr)}.\] Tuto rovici je možno upravit na tvar \[ {\frac{\partial u}{\partial t}=\sigma + \nabla\cdot \bigl(D\nabla u\bigr)},\] který se nazývá difuzní rovnice.

Poznámka (fyzikální interpretace difuzní rovnice).

V jednorozměrném případě (proudění jedním směrem) gradient splývá s parciální derivací a má jenom jednu komponentu. Ztrácí tedy vektorový charakter a proto nemá smysl \(D\) uvažovat maticově, prostředí je automaticky izotropní. Divergence se v takovém případě také redukuje na parciální derivaci a rovnice difuze v jedné dimenzi má tvar \[ {\frac{\partial u}{\partial t}=\sigma + \frac{\partial }{\partial x} \left(D\frac{\partial u}{\partial x}\right)}.\] To jsme viděli již v první přednášce.

Vedení tepla

Stromy umí ochlazovat své okolí. Ulice v Melbourne vyfocená termokamerou to dokazuje. A difuzní rovnice toto dokáže modelovat. Photograph: City of Melbourne. Zdroj: theguardian.com.
Stromy umí ochlazovat své okolí. Ulice v Melbourne vyfocená termokamerou to dokazuje. A difuzní rovnice toto dokáže modelovat. Photograph: City of Melbourne. Zdroj: theguardian.com.

Důležitým speciálním případem difuzní rovnice je rovnice vedení tepla. Stavovou veličinou, která se zachovává v úlohách s vedením tepla, je vnitřní energie ve formě tepla. Zpravidla nemá smysl uvažovat členy vyjadřující zdroje, tj. \(\sigma =0\). Protože teplo neměříme přímo, je vhodnější model formulovat pro teplotu \(T\). Jsou-li \(\varrho\) a \(c\) po řadě hustota a měrná tepelná kapacita materiálu, má člen vyjadřující změnu hustoty energie v daném místě tvar \(\varrho c\frac{\partial T}{\partial t}.\) Úměrnost mezi gradientem teploty a tokem tepla zprostředkovává Fourierův zákon. Difuzní rovnice má v tomto případě tvar \[{\varrho c\frac{\partial T}{\partial t}= \nabla\cdot\bigl(k\nabla T\bigr)}\]

Poznámka (interpretace rovnice vedení tepla).

Na rozhraní vrstev ve vrstveném materiálu je spojité teplotní pole a tok tepla. Zdroj: Cengel, Ghajar: Heat and Mass Transfer.
Na rozhraní vrstev ve vrstveném materiálu je spojité teplotní pole a tok tepla. Zdroj: Cengel, Ghajar: Heat and Mass Transfer.

Tato rovnice je zobecnění rovnice vedení tepla v jedné dimenzi, kterou jsme odvodili primitivními prostředky (jenom pomocí parciálních derivací, bez gradientu a divergence) ve tvaru \[\rho c\frac{\partial T}{\partial t}=\frac{\partial}{\partial x}\left(k\frac{\partial T}{\partial x}\right)\] v úvodní přednášce.

Rovnice vedení tepla se používá například při tepelné ochraně budov, při modelování tepelných ostrovů v krajině, při tepelné modifikaci dřeva, nebo při studiu permafrostu.

V literatuře věnované problematice dřeva se rovnice vedení tepla ve dřevě označuje jako Druhý Fourierův zákon (P. Horáček, Fyzikální a mechanické vlastnosti dřeva I, str. 88).

V některých případech nemusí být člen charakterizující zdroje nulový. Teplo může vznikat například při tření nebo při průchodu elektrického proudu transformací z jiného druhu energie. Dále teplo vzniká například při betonování po přidání vody do cementu, známý je problém jak uchladit Hooverovu přehradu při stavbě.

Rovnice vedení tepla ve 2D v různých podmínkách

Teplotní modifikace dřeva ve VCJR v Útěchově. Díky jednoduché geometrii vzorků je možno provést i přesný analytický výpočet teplotního pole. Výřez ukazuje detail čtyř vzorků. Jeden z nich je nařezán šikmo. V takovém případě je výpočet mnohem obtížnější než u vzorků, jejichž tvar respektuje anatomické směry ve dřevě. Zdroj: J. Dömény.
Teplotní modifikace dřeva ve VCJR v Útěchově. Díky jednoduché geometrii vzorků je možno provést i přesný analytický výpočet teplotního pole. Výřez ukazuje detail čtyř vzorků. Jeden z nich je nařezán šikmo. V takovém případě je výpočet mnohem obtížnější než u vzorků, jejichž tvar respektuje anatomické směry ve dřevě. Zdroj: J. Dömény.
Teplotní modifikace šindele ve VCJR v Útěchově. Řídí se stejnou rovnicí jako hranoly na obrázku výše. Vinou komplikovaného tvaru je však matematické modelování teplotního pole možné jenom numerickou cestou. Skutečně, v podobných úlohách hraje geometrie úlohy důležitou roli a netriviální geometrie zpravidla znemožní efektivní řešení analytickou cestou. Zdroj: J. Dömény.
Teplotní modifikace šindele ve VCJR v Útěchově. Řídí se stejnou rovnicí jako hranoly na obrázku výše. Vinou komplikovaného tvaru je však matematické modelování teplotního pole možné jenom numerickou cestou. Skutečně, v podobných úlohách hraje geometrie úlohy důležitou roli a netriviální geometrie zpravidla znemožní efektivní řešení analytickou cestou. Zdroj: J. Dömény.
Nestacionární rovnice vedení tepla. Měření teplotních charakteristik pomocí sledování odezvy na teplotní impuls na ÚNOD LDF MENDELU. Zdroj: R. Slávik.
Nestacionární rovnice vedení tepla. Měření teplotních charakteristik pomocí sledování odezvy na teplotní impuls na ÚNOD LDF MENDELU. Zdroj: R. Slávik.

Uvažujme rovnici vedení tepla ve dvou rozměrech a v prostředí bez zdrojů. \[\rho c\frac{\partial T}{\partial t}=\nabla \cdot (k\nabla T)\tag{***}\]

Stacionární stav

Stacionární stav znamená, že stavové veličiny nezávisí na čase. Derivace podle času je v takovém případě nulová. Rovnice (***) se redukuje na \[\nabla \cdot (k\nabla T)=0.\]

Homogenní izotropní materiál a lineární materiálové vztahy

Materiál má ve všech místech (homogenní) a ve všech směrech (izotropní) stejné vlastnosti. Veličina \(k\) je reálná skalární veličina (konstanta).

Podle pravidla derivace konstantního násobku se rovnice (***) redukuje na
\[\rho c\frac{\partial T}{\partial t}=k\nabla \cdot (\nabla T)\] a ve složkách \[\rho c\frac{\partial T}{\partial t}=k\left(\frac{\partial^2 T}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 T}{\partial y^2}\right).\]

Pro \(\tau=\frac{kt}{\rho c}\) (změna jednotky času) dostáváme \[\frac{\partial T}{\partial \tau}=\frac{\partial^2 T}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 T}{\partial y^2}.\]

Ortotropní materiál, nehomogenní nebo nelineární

Materiál má dva charakteristické směry související s rovinami symetrie. Zvolíme soustavu souřadnic tak, aby osy byly orientovány ve směru vlastních vektorů.

Veličina \(k\) je diagonální matice. Pro \[k=\begin{pmatrix}k_x & 0\\ 0& k_y\end{pmatrix}\] je tvar rovnice (***) ve složkách \[\rho c\frac{\partial T}{\partial t}=\frac{\partial }{\partial x}\left(k_x\frac{\partial T}{\partial x}\right) +\frac{\partial }{\partial y}\left(k_y\frac{\partial T}{\partial y}\right).\]

Homogenní ortotropní materiál a lineární materiálové vztahy

Materiál má dva charakteristické směry související s rovinami symetrie a materiálové charakteristiky jsou ve všech místech stejné a nezávislá na \(T\). Stejné jako předchozí případ, ale \(k_x\) a \(k_y\) jsou konstanty. Podle pravidla pro derivaci konstantního násobku se rovnice (***) redukuje na \[\rho c\frac{\partial T}{\partial t}=k_x\frac{\partial^2 T}{\partial x^2}+k_y\frac{\partial^2 T}{\partial y^2}.\]

Voda v porézním materiálu

Difuzní rovnice se používá k modelování sušení dřeva. Zdroj: pixabay.com.
Difuzní rovnice se používá k modelování sušení dřeva. Zdroj: pixabay.com.

V porézním materiálu voda prostupuje materiálem a zachovává se její množství, což bude stavová veličina. Hustotu tohoto množství, tj. obsah vody v jednotce objemu, označíme \(c\) a pro tuto veličinu formulujeme matematický model. Zdroje neuvažujeme. Úměrnost mezi gradientem koncentrace vody a jejím tokem zprostředkovává Fickův zákon. Modelem je potom difuzní rovnice bez zdrojů. \[ {\frac{\partial c}{\partial t}= \nabla\cdot \bigl(k\nabla c\bigr)} \] Tato rovnice se používá například při modelování procesu sušení dřeva v sušárnách nebo při modelování dřeva ve vlhkém prostředí. Stejná rovnice napsaná pro vzduch se používá k modelování proudění v atmosféře při předpovídání počasí.

V literatuře věnované problematice dřeva se rovnice difuze použitá na modelování vlhkosti ve dřevě označuje jako Druhý Fickův zákon (A. Požgaj a kol., Štruktúra a vlastnosti dreva, str. 202, P. Horáček, Fyzikální a mechanické vlastnosti dřeva I, str. 60).

V praxi je dřevo často s jistou přesností homogenní, ale difuzní koeficient dřeva závisí na vlhkosti, tedy vztah mezi gradientem vlhkosti a difuzním tokem není lineární. Přesto i v tomto případě používáme Fickův zákon, ovšem složky difuzního koeficientu nepovažujeme za konstanty, jsou závislé na \(c\) a jejím prostřednictvím i na \(x\).

Rovnice podzemní vody

Difuzní rovnice umí popsat proudění podzemní vody. Díky tomu dokážeme zabránit kontaminacím pitné vody z chemických provozů. Zdroj: pixabay.com.
Difuzní rovnice umí popsat proudění podzemní vody. Díky tomu dokážeme zabránit kontaminacím pitné vody z chemických provozů. Zdroj: pixabay.com.

Proudění podzemní vody je vlastně úloha s řekou se zasypaným korytem. Taková voda teče ve srovnání s povrchovou vodou velmi pomalu, protože prosakuje půdou. Prostor, kde se podzemní voda nachází, se nazývá zvodeň. Stejně jako řeka v korytě na povrchu, i voda v podzemní zvodni teče v jistém smyslu “z kopce”. V tomto případě však kromě nadmořské výšky může hrát roli i rozdíl tlaků nebo další efekty. Vliv všech těchto efektů shrnujeme do jediného pojmu piezometrická výška. Směr “z kopce” pro podzemní vodu je poté směr poklesu piezometrické výšky. V daném místě se může voda hromadit, to poznáme nárůstem hladiny spodní vody. Také může z hlediska zvodně část vody zanikat, například pokud je zde čerpaná studna nebo průsak do jiné zvodně. Voda může ve zvodni i vznikat, například zasakovacím vrtem nebo průsakem dešťových srážek. Pokud do celkové bilance započteme rozdíl mezi přítokem a odtokem a všechny zdroje a spotřebiče, množství vody se zachovává.

Podzemní zvodeň je typickým porézním materiálem, přesto k modelování vody v tomto prostředí přistupujeme speciálním způsobem. Úloha se většinou uvažuje ve dvou dimenzích, protože horizontální rozměry zvodně jsou mnohem větší než její hloubka. Zachovává se množství vody, ale stejně jako u vedení tepla je výhodné formulovat model pro lépe měřitelnou veličinu, piezometrickou výšku \(h\). Přírůstek množství podzemní vody za časovou jednotku na jednotkové ploše v daném místě zvodně má tvar \(S_S \frac{\partial h}{\partial t}\), kde \(S_S\) je specifická zásobnost. Úměrnost mezi gradientem piezometrické výšky a filtračním tokem byla prokázána experimentálně a je známa jako Darcyho zákon. Difuzní rovnice má (s konstantou úměrnosti \(T\), transmisivitou) tvar \[ {S_S\frac{\partial h}{\partial t}= \sigma + \nabla\cdot \bigl(T\nabla h\bigr).}\] Tato rovnice se nazývá rovnice podzemní vody. Zdroje jsou nejčastěji zasakovací nebo odvodňovací vrty, dále studny, poldry, výkopy nebo zářezy. Informace získané z rovnice podzemní vody se využívají například k ochraně lomů, dolů a stavebních jam před zaplavením, k hospodaření s pitnou vodou, k ochraně před šířením kontaminace z chemických provozů. Aplikace jsou dále v detekci zdroje kontaminace pitné vody a odhadu rychlosti šíření kontaminace, včetně kontaminace slanou mořskou vodou v přímořských oblastech.

U proudění s napjatou hladinou (mezi dvěma nepropustnými vrstvami, angl. confined aquifer) transmisitiva závisí pouze na fyzikálních vlastnostech zvodně. Například pro homogenní izotropní materiál je konstantní. U proudění s volnou hladinou (bez horní nepropustné vrstvy, angl. unconfined aquifer) je transmisivita úměrná tloušťce vrstvy obsahující vodu. Zpravidla nulovou hodnotu piezometrické hladiny volíme na dolní nepropustné vrstvě a potom platí \(T=kh\), kde \(k\) závisí pouze na fyzikálních vlastnostech půdy. Proto se často rovnice podzemní vody pro proudění s volnou hladinou zapisuje ve tvaru \[ {S_S\frac{\partial h}{\partial t}= \sigma + \nabla\cdot \bigl(kh\nabla h\bigr).}\]

Laplaceův operátor

Definice (Laplaceův operátor).

Laplaceovým operátorem \(\nabla ^2\) rozumíme divergenci gradientu, tj. \[\nabla^2 f=\nabla\cdot(\nabla f).\]