Opakování

Vrstevnice

• Pro funkci dvou proměnných jsou vrstevnice křivky, spojující místa se stejnou funkční hodnotou.

Geometrie

• Skalární součin vektorů \[(u_1,u_2)\cdot (v_1,v_2)=u_1v_1+u_2v_2\] Pro kolmé vektory je nulový. Má-li jeden z vektor jednotkovou délku, je skalárí součin průmětem druhého vektoru do směru daného uvažovaným jednotkovým vektorem.

Lineární algebra

• Součin matice a vektoru (lineární kombinace sloupců matice, koeficienty jsou složky vektoru) \[\begin{pmatrix}2 & 1\\-1 &3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}2\\3\end{pmatrix} = 2\begin{pmatrix}2\\-1\end{pmatrix} + 3\begin{pmatrix}1\\3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}7\\7\end{pmatrix}\]
• Matice jako zobrazení mezi vektorovými prostory: vektor můžeme pomocí matice zobrazit na jiný vektor, zachovává se přitom rovnoběžnost, poloha středu úsečky a některé další vlastnosti.
• Změna souřadné soustavy: speciální případ zobrazení vektorového prostoru na sebe, tj. je možné reprezentovat pomocí maticového součinu.
• Vlastní hodnoty a vektory matice: \(A\vec v=\lambda \vec v\), tj. vektor se zobrazí na svůj násobek. Číslo \(\lambda\) se nazývá vlastní číslo (vlastní hodnota) a vektor \(\vec v\) vlastní vektor matice.
• Matice s vlastními vektory se směru souřadných os je diagonální. Skutečně, například \[\begin{pmatrix}a & b\\c &d \end{pmatrix} \begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}a\\c\end{pmatrix}\quad\text{a}\quad \begin{pmatrix}a & b\\c &d \end{pmatrix} \begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}=\lambda \begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}\] si vynutí \(c=0\). Podobně bychom dostali pro vektor ve směru druhé osy \(b=0\).

Diferenciální operátory

Parciální derivace se vyskytují ve většině důležitých rovnic popisujících fyzikální svět okolo nás. Všude tam, kde se zajímáme o fyzikální podstatu děje se setkáváme s parciálními derivacemi. Vztahy ze středoškolské fyziky nebo tabulek pro inženýry jsou jenom důsledky odvozené pro hodně speciální situace.

Parciální derivace umožňují sledovat závislost stavových veličin v závislosti na souřadnicích nebo čase, a to pro každou souřadnici samostatně. Nicméně souřadný systém je něco, co do popisu vnášíme uměle a proto by fyzikální proces neměl být na tomto souřadném systému závislý. Proto často spojujeme parciální derivace do složitějších výrazů – diferenciálních operátorů. Zde teprve vynikne síla parciálních derivací.

Gradient

Definice (gradient).

Gradient skalární funkce dvou proměnných \(f(x,y)\) je vektorové pole označené a definované následovně. \[\nabla f=\left(\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}\right)\] Podobně je definován gradient skalární funkce tří proměnných \(f(x,y,z)\). \[\nabla f=\left(\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}, \frac{\partial f}{\partial z}\right)\]

Poznámka (fyzikální význam gradientu).

Gradient skalární veličiny \(f\) je vektorová veličina, která vyjadřuje směr a intenzitu maximálního růstu veličiny \(f\). Přesněji, výsledkem gradientu je vektor ve směru maximálního růstu veličiny \(f\). Délka tohoto vektoru je nárůst veličiny \(f\) na intervalu jednotkové délky. Pro rovnoměrně rozloženou veličinu v prostoru (konstantní) je gradient nulový. Proto je možné gradient chápat jako míru nerovnoměrného rozložení veličiny v prostoru. Řada fyzikálních dějů probíhá tak, že tato nerovnoměrnost vyvolá proudění, které se snaží tuto nerovnoměrnost vyrovnat, například vedení tepla nebo difuze. V praxi nás proto většinou zajímá směr maximálního poklesu, tj. \(-\nabla f\).

Symbol \(\nabla\) je operátor nabla definovaný formálně vztahem \[\nabla=\left(\frac{\partial}{\partial x}, \frac{\partial}{\partial y}, \frac{\partial}{\partial z}\right)\] nebo \[\nabla=\left(\frac{\partial}{\partial x}, \frac{\partial}{\partial y}\right)\] (v závislosti na počtu proměnných funkce \(f\)). “Násobení” \(\frac{\partial }{\partial x}\) s funkcí \(f\) přitom chápeme jako parciální derivaci \(\frac{\partial f}{\partial x}\).

Někdy je vhodné formulovat fyzikální zákony pomocí prostředků lineární algebry, zejména pomocí maticového součinu. V takovém případě gradientem uvažujeme sloupcový vektor.

Užitečnost gradientu je ve spojení s křivkami, které spojují místa se stejnou funkční hodnotou funkce dvou proměnných. Tyto křivky nazýváme obecně vrstevnice, případně podle kontextu izotermy, izobary, hydroizopsy, hydroizopiezy atd. Pro funkce tří proměnných máme plochy spojující místa se stejnou funkční hodnotou ekvipotenciální plochy. Gradient je v každém bodě kolmý k vrstevnici (ve 2D) resp. k ekvipotenciální ploše (ve 3D). Nakreslit online.

Poznámka (linearita gradientu).

Gradient zachovává součet a násobení konstantou, tj. pro libovolné funkce \(f\) a \(g\) a konstantu \(c\) platí \[\nabla (f+g)=\nabla f +\nabla g, \qquad \nabla (cf)=c\nabla f.\]

Gradient v přírodě

• V matematice se gradientem rozumí vektor z parciálních derivací podle všech proměnných. V aplikacích tomu bývá poněkud jinak. Často je funkce popisující studovaný systém funkcí času i prostorových proměnných. V takovém případě gradientem rozumíme vektor složený jenom z parciálních derivací podle prostorových proměnných. Čas při výpočtu gradientu za proměnnou nepovažujeme.
• V jednorozměrném případě je gradient totéž co derivace. Přesto se někdy z tradičních důvodů respektujících zvyklosti oboru nemluví o derivaci, ale o gradientu. Například mluvíme o gradientu teploty při studiu tepelně izolačních vlastností materiálů. Pokud máme na mysli vrstvu z jednoho materiálu (a ne například sendvičovou stěnu), je rozložení teploty lineární a dokonce v tomto případě pojmem gradient vlastně označujeme směrnici přímky.
• S gradientem souvisí majáková navigace při migraci živočichů. Ti sledují určitý chemický podnět a pohybují se ve směru největšího růstu tohoto podnětu (tj. ve směru gradientu). Například žralok ve vodě takto sleduje koncentraci krve. Pokud je mezi žralokem a zdrojem krve proud, který krev unáší, nepopluje žralok rovnou čarou ke zdroji krve, ale koncentrace krve ho povede po delší trase.
• Pokud se zajímáme nejenom o směr, ale i velikost gradientu, pomůže to k posouzení jak rychle se mění veličina v prostoru (gradient je velký, jsou-li vrstevnice nahusto).
• Při proudění podzemní vody sledujeme hydroizohypsy, křivky spojující místa se stejnou hladinou podzemní vody nebo obecněji se stejnou piezometrickou výškou. Tok vody je v homogenním prostředí kolmý na tyto křivky a intenzivní podle hustoty křivek, tj. násobkem záporně vzatého gradientu piezometrické výšky. Zjednodušeně řečeno, i podzemní voda má snahu téct “z kopce”, ale “z kopce” je ve smyslu nejrychlejšího poklesu piezometrické výšky. V anizotropním prostředí se tento tok může odklánět do směru, ve kterém půda klade toku podzmení vody menší odpor.

Lineární aproximace skalární funkce

• Lineární aproximací funkce \(z=f(x,y)\) v bodě \((x_0, y_0)\) je \[ f(x,y)\approx f(x_0, y_0)+\frac{\partial f (x_0,y_0)}{\partial x}(x-x_0)+\frac{\partial f (x_0,y_0)}{\partial y}(y-y_0)\] nebo (pomocí skálárního součinu a gradientu) \[ f(x,y)\approx f(x_0, y_0)+ \nabla f(x_0,y_0)\cdot (x-x_0,y-y_0).\]
• Tečná rovina ke grafu funkce \(z=f(x,y)\) vedená bodem \([x_0,y_0,z_0]\), kde \(z_0=f(x_0,y_0)\) má rovnici \[z=z_0+\frac{\partial f (x_0,y_0)}{\partial x}(x-x_0)+\frac{\partial f (x_0,y_0)}{\partial y}(y-y_0),\] nebo (pomocí gradientu) \[ z= z_0+ \nabla f(x_0,y_0)\cdot (x-x_0,y-y_0).\]

Lineární aproximace vektorové funkce

Lineární aproximací vektorové funkce je lineární aproximace jejích skalárních složek. Tj. pro funkci \(\vec F(x,y)=f_1(x,y)\vec \imath + f_2(x,y)\vec\jmath\) v bodě \((x_0, y_0)\) je \[ f_1(x,y)\approx f_1(x_0, y_0)+\frac{\partial f_1 (x_0,y_0)}{\partial x}(x-x_0)+\frac{\partial f_1 (x_0,y_0)}{\partial y}(y-y_0)\] a \[ f_2(x,y)\approx f_2(x_0, y_0)+\frac{\partial f_2 (x_0,y_0)}{\partial x}(x-x_0)+\frac{\partial f_2 (x_0,y_0)}{\partial y}(y-y_0).\] Vektorově zapsáno, platí \[\begin{pmatrix}f_1(x,y)\\f_2(x,y)\end{pmatrix} \approx \begin{pmatrix}f_1(x_0,y_0)\\f_2(x_0,y_0)\end{pmatrix} + \begin{pmatrix} \frac{\partial f_1}{\partial x}(x_0,y_0) \\\frac{\partial f_2}{\partial x}(x_0,y_0) \end{pmatrix} (x-x_0)+ \begin{pmatrix} \frac{\partial f_1}{\partial y}(x_0,y_0)\\ \frac{\partial f_2}{\partial y}(x_0,y_0)\end{pmatrix} (y-y_0). \] Maticově zapsáno \[\begin{pmatrix}f_1(x,y)\\f_2(x,y)\end{pmatrix} \approx \begin{pmatrix}f_1(x_0,y_0)\\f_2(x_0,y_0)\end{pmatrix} + \begin{pmatrix} \frac{\partial f_1}{\partial x}(x_0,y_0) & \frac{\partial f_1}{\partial y}(x_0,y_0)\\\frac{\partial f_2}{\partial x}(x_0,y_0) & \frac{\partial f_2}{\partial y}(x_0,y_0)\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x-x_0\\ y-y_0\end{pmatrix} \] nebo \[\vec F(x,y)\approx \vec F(x_0,y_0) + J(x_0,y_0) \begin{pmatrix}x-x_0\\ y-y_0\end{pmatrix},\] kde \[J(x,y)=\begin{pmatrix} \frac{\partial f_1}{\partial x}(x ,y ) & \frac{\partial f_1}{\partial y}(x ,y )\\\frac{\partial f_2}{\partial x}(x ,y ) & \frac{\partial f_2}{\partial y}(x ,y )\end{pmatrix}\] je Jacobiho matice funkce \(\vec F\).

Lineární aproximace v okolí nuly pro funkci, která je v nule nulová, tj. \(x_0=y_0=\vec F(0,0)=0\) je \[\vec F(x,y)\approx \vec J(0,0) \begin{pmatrix}x\\ y\end{pmatrix}.\]

Vícerozměrné konstitutivní zákony

Konstitutivní vztahy tvoří z hlediska materiálového inženýrství jednu z nejdůležitějších aplikací gradientu. Jedná se o vztahy dávající do vzájemné relace gradient stavové veličiny, pomocí níž charakterizujeme stav studovaného objektu, a tok, který se snaží zahladit nerovnoměrnost v rozložení stavové veličiny. Například při nerovnoměrném rozložení koncentrace látky se tato koncentrace vyrovnává difuzním tokem. Při nerovnoměrném rozložení vnitřní energie v systému se tato nerovnoměrnost navenek projevuje rozdílnými teplotami v různých částech tělesa a vyrovnává tokem tepla. Při různých piezometrických hladinách podzemní vody (hladina podzemní vody se započtením případného tlaku a dalších parametrů majících vliv na proudění vody) se tato nerovnoměrnost vyrovnává prouděním podzemní vody.

Zákony uvedené níže byly často odvozeny v jednorozměrném případě. V moderní formulaci používáme obecný vektorový zápis, který zohledňuje i směr. Zpravidla je možné použít pro tento konstitutivní vztah lineární aproximaci a proto se vlastně jedná o násobení vektoru maticí. Tato matice umožní nejenom změnit délku vektoru a jeho jednotku, ale i směr. Matice se navíc při změně báze transformuje speciálním způsobem, tak jako vektory. Takové objekty nazýváme tenzory. Níže budeme pojmem tenzor rozumět matici \(3\times 3\) nebo \(2\times 2\), podle kontextu. (Obecněji je možno považovat skalární veličiny a vektory za tenzory nižších řádů, toto my však dělat nebudeme.)

Aby měly konstitutivní vztahy níže smysl, uvažujeme v nich gradient jako sloupcový vektor.

Fickův zákon (difuze)

V roce 1855 německý lékař A. Fick objevil, že difuzní tok \(\vec J\) (množství látky které projde při difuzi jednotkovou plochou za jednotku času) je úměrný gradientu koncentrace \(c\) této látky. Matematicky vyjádřeno pomocí moderní terminologie to znamená, že platí \[\vec J=-D\nabla c. \] Veličina \(D\) se nazývá difuzní koeficient. Pokud má \(\vec J\) stejný směr jako \(\nabla c\), je \(D\) skalární veličina. Pokud směry nejsou stejné, je \(D\) tenzor. Z fyzikálních důvodů je tenzor \(D\) symetrický.

Difuzí se například dřevo zbavuje vlhkosti při vysoušení.

Darcyho zákon (proudění podzemní vody)

V letech 1855 a 1856 francouzský inženýr H. Darcy pokusy prokázal přímou úměru mezi rozdílem tlaků na koncích trubice naplněné porézní zeminou (jednalo se vlastně o rozdíl výšek pro šikmou trubici) a rychlostí proudění vody touto trubicí. Pro tok podzemní vody je vhodné rozdíl tlaků vyjadřovat pomocí veličiny nazývané piezometrická výška \(h\). Do této veličiny se sčítá vliv nadmořské výšky, tlaku geologických vrstev a případné další efekty. Tok (množství vody, která proteče jednotkovou plochou za jednotku času) je dán vztahem \[\vec q=-K\nabla h,\] kde \(h\) je piezometrická výška a \(K\) je koeficient filtrace. \(K\) je v obecném případě symetrický tenzor, v izotropním případě, kdy \(\vec q\) a \(\nabla h\) mají stejný směr, veličina skalární.

Fourierův zákon (vedení tepla)

Fourierův zákon se týká vedení tepla a vyjadřuje, že vektor hustoty tepelného toku \(\vec q\) je úměrný gradientu teploty \(\nabla T\) a má opačný směr, tj. \[\vec q=-k\nabla T.\] Je-li materiál anizotropní, což je nejobecnější případ, je veličina \(k\) symetrickým tenzorem. Je-li materiál izotropní, je \(k\) skalární veličinou, případně skalární veličina násobená jednotkovou maticí, pokud potřebujeme zachovat její maticový charakter. Veličina \(k\) se nazývá součinitel tepelné vodivosti, koeficient tepelné vodivosti nebo Fourierův koeficient.

Soretův efekt (termodifuze)

Tok tepla je vyvolaný nerovnoměrným rozložením teploty. Difuze chemické látky je vyvolána nerovnoměrným rozložením koncentrace této látky. Většinou je hybatelem procesu nerovnoměrnost v rozložení látky, která se tímto procesem transportuje. Nemusí to však být vždy. Příkladem je termodifuze, což je pohyb prvků vyvolaný nerovnoměrným rozložením teploty. Například při difúzi vody ve dřevě s nerovnoměrným rozložením teploty je tok dán vztahem \[\vec J=-D\nabla c - sD\nabla T, \] kde \(s\) je koeficient termodifuze. Na rozdíl od předchozích zákonů, u Soretova efektu dochází k transportu nejenom ve směru maximálního poklesu (záporného gradientu) teploty, ale někdy i ve směru gradientu teploty. Viz Wikipedia a heslo Thermophoresis.

Ohmův zákon

Ohmův zákon je velice známý vztah mezi napětím a proudem. Přeformulováno z integrálního tvaru \(I=\frac 1R U\) (pro elektrické obvody) do diferenciálního tvaru (pro popis děje v látce) tento zákon říká, že hustota elektrického proudu \(\vec j\) je přímo úměrná intenzitě elektrického pole \(\vec E\). A tato intenzita je gradientem potenciálu \(\varphi\) elektrického pole, tj. \(\vec E=\nabla \varphi\). Spojeno, platí \[\vec j=\gamma \nabla \varphi.\] Formálně máme tedy stejný tvar zákona jako u vedení tepla, tok tepla je nahrazen tokem elektrického proudu a rozdíl teplot je nahrazen rozdílem potenciálů. Znalost zapojování elektrických obvodů, jako je například paralelní nebo sériové zapojení rezistorů, bývá běžná a toho se často využívá při modelování tepelného odporu pomocí eletrického odporu. Formálně jsou vztahy identické.

Elektrický proud studujeme v kovech a ty bývají izotropní. Proto je v případě Ohmova zákona konstanta úměrnosti uvažována jako reálné číslo, nikoliv matice. Tím se věci znatelně zjednodušují, ale vyplývají odsud i limity použitelnosti při modelování vedení tepla jako vedení elektrického proudu.

Speciální případy vztahu mezi gradientem a tokem

Uvažujme vztah mezi gradientem a tokem ve tvaru \[\vec j=-K\nabla u ,\] kde \(K\) je symetrický tenzor. Gradient má ve trojrozměrném případě vyjádření \[\nabla u =\left(\frac{\partial u }{\partial x},\frac{\partial u }{\partial y},\frac{\partial u }{\partial z}\right)^T\] a ve 2D \[\nabla u =\left(\frac{\partial u }{\partial x},\frac{\partial u }{\partial y}\right)^T.\]

Obecný případ (anizotropní)

Veličina \(K\) je matice \[K= \begin{pmatrix} k_{11}& k_{12} & k_{13}\\ k_{21}& k_{22} & k_{23}\\ k_{31}& k_{32} & k_{33} \end{pmatrix} \] jejíž komponenty splňují \(k_{ij}=k_{ji}\). Často jsou všechny veličiny kladné a prvky v hlavní diagonále jsou dominantní.

Komponenty vektoru \(\vec j=(j_x, j_y, j_z)^T\) jsou \[ \begin{aligned} j_x&=-k_{11}\frac{\partial u }{\partial x}-k_{12}\frac{\partial u }{\partial y}-k_{13}\frac{\partial u }{\partial z},\\ j_y&=-k_{21}\frac{\partial u }{\partial x}-k_{22}\frac{\partial u }{\partial y}-k_{23}\frac{\partial u }{\partial z},\\ j_z&=-k_{31}\frac{\partial u }{\partial x}-k_{32}\frac{\partial u }{\partial y}-k_{33}\frac{\partial u }{\partial z}, \end{aligned} \] což zjistíme prostým maticovým násobením. Prostor pro další úpravu není.

Ortotropní případ, vhodně zvolené osy

V obecném případě je zpravidla možné transformovat soustavu souřadnic tak, aby tenzor \(K\) byl diagonální. Pro praktické výpočty se toto však často nevyplatí. Pokud však je studovaný problém ortotropní, má charakteristické směry (přesněji, má tři roviny symetrie materiálových vlastností), je možné zvolit souřadnice v souladu s těmito směry a matice \(K\) je diagonální.

\[K= \begin{pmatrix} k_{11}& 0 & 0\\ 0& k_{22} & 0\\ 0& 0 & k_{33} \end{pmatrix} \]

Komponenty vektoru \(\vec j\) jsou \[ \begin{aligned} j_x&=-k_{11}\frac{\partial u }{\partial x},\\ j_y&=-k_{22}\frac{\partial u }{\partial y},\\ j_z&=-k_{33}\frac{\partial u }{\partial z}. \end{aligned} \]

S diagonální maticí se pracuje velmi dobře, protože má v hlavní diagonále vlastní čísla. Tato vlastní čísla jsou fyzikální charakteristikou úlohy. Například největší vlastní číslo a odpovídající vlastní směr charakterizují směr, ve kterém je odezva materiálu na vnější podnět maximální a vlastní číslo udává velikost této reakce. Tyto fyzikální charakteristiky nemohou být závislé na volbě souřadné soustavy, ve které úlohu popisujeme. Co se mění s volbou souřadné soustavy jsou pouze souřadnice vlastního vektoru. Vlastní čísla jsou však skalární a proto jsou invariantní při otočení soustavy souřadnic. Pokud bychom neměli možnost zvolit soustavu souřadnic tak, aby matice byla diagonální, máme alespoň jistotu, že vlastní čísla zůstanou stejná.

Ortotropní případ ve 2D

Stejné jako ve 3D, pouze chybí třetí rovnice.

Izotropní případ

Stejné jako ortotropní případ, ale navíc platí \(k_{11}=k_{22}=k_{33}=k.\) Potom \(\vec j=-k\nabla u\), kde \(k\) je konstanta a vektory toku a gradientu mají opačný směr. V tomto případě, narozdíl od ortotropního případu, nezávisí na volbě souřadné soustavy, tenzor materiálových vlastností se redukuje na jednorozměrnou konstantu v libovolné souřadné soustavě.

Tečna k vrstevnici

Pro \(z=0=z_0\) dostáváme z tečné roviny následující: Nechť \(f(x_0,y_0)=0\). Tečna k vrstevnici funkce \(f(x,y)\) na úrovni nula, tj. ke křivce \(0=f(x,y)\), vedená bodem \([x_0,y_0]\) má rovnici \[0=\nabla f(x_0,y_0)\cdot (x-x_0,y-y_0).\]

Nakreslit online

Implicitně definovaná funkce

Ve speciálním případě, pokud tečna k vrstevnici není rovnoběžná s osou \(y\), je možno vrstevnici chápat jako graf funkce jedné proměnné. Taková funkce je do jisté míry určena jednoznačně, jak ukazuje následující věta.

Věta (o implicitní funkci).

Uvažujme funkci \(f(x,y)\) dvou proměnných, splňující v nějakém bodě \((x_0, y_0)\) podmínku \(f(x_0, y_0)=0\) a mající v okolí bodu \((x_0, y_0)\) spojité parciální derivace. Platí-li \[\frac{\partial f (x_0,y_0)}{\partial y}\neq 0,\] je rovnicí \[f(x,y)=0\] v okolí bodu \((x_0, y_0)\) implicitně určena právě jedna spojitá funkce \(y=g(x)\).

Lokální extrémy funkce více proměnných

Podobně jako pro funkce jedné proměnné definujeme i pro funkce více proměnných lokální extrémy následovně: funkce má v daném bodě lokální minimum, pokud v nějakém okolí tohoto bodu neexistuje bod s menší funkční hodnotou a podobně, funkce má v bodě lokální maximum, pokud v okolí tohoto bodu neexistuje bod s vyšší funkční hodnotou.

Funkce jedné proměnné určitě nemá v bodě lokální extrém, pokud má v tomto bodě kladnou derivaci (protože potom funkce roste), nebo pokud má v tomto bodě zápornou derivaci (protože potom funkce klesá). Derivace v bodě kde nastává lokální extrém tedy musí být buď nulová nebo nesmí existovat. Stejná myšlenková úvaha se dá provést pro křivky vzniklé na řezech funkce dvou proměnných a proto platí následující věta.

Věta (Fermatova nutná podmínka pro lokální extrémy).

Jestliže funkce více proměnných má v nějakém bodě svůj lokální extrém, pak každá parciální derivace, která v tomto bodě existuje, je nulová.

V bodě lokálního extrému hladké funkce je tedy nulový gradient.

Tenzor malých deformací

Na závěr jedna aplikace z oblasti parciálních derivací. Ukážeme si, že parciální derivace jsou vhodné k popisu deformací.

Vektorovou funkci je možné chápat jako zobrazení roviny do sebe, které může odpovídat deformaci tělesa působením síly. Popišme tuto deformaci \(\vec U(x_1,x_2)=(u_1(x_1,x_2), u_2(x_1,x_2))\). Lineární aproximací dostáváme \[\vec U(x_1+\Delta x_1,x_2+\Delta x_2)\approx \vec U(x_1,x_2) + J(x_1,x_2) \begin{pmatrix}\Delta x_1 \\ \Delta x_2 \end{pmatrix}.\] Člen \(\vec U(x_1,x_2)\) je posunutí, proto nás zajímá až druhý člen, obsahující deformaci. Pokud matici \(J(x_1,x_2)\) rozdělíme na součet symetrické a antisymetrické matice, dostaneme matici, odpovídající změně tvaru a matici, odpovídající pootočení. Pootočení (antisymetrická část) nás nezajímá, zajímá nás jenom změna tvaru. Obecný postup, jak rozdělit matici na součet symetrické a antisymetrické matice je \[A=\frac{A+A^T}2+\frac{A-A^T}2.\] První matice v tomto součtu je symetrická a druhá antisymetrická. Pro Jacobiho matici dostáváme \[\frac{J+J^T}2= \begin{pmatrix} \frac{\partial u_{1}}{\partial x_{1}} & \frac 12\left(\frac{\partial u_{1}}{\partial x_{2}}+\frac{\partial u_{2}}{\partial x_{1}}\right)\\ \frac 12\left(\frac{\partial u_{1}}{\partial x_{2}}+\frac{\partial u_{2}}{\partial x_{1}}\right)& \frac{\partial u_{2}}{\partial x_{2}} \end{pmatrix} .\] Tato matice popisuje změnu tvaru a nazývá se tenzor malých deformací. Ten se ještě někdy rozděluje na součet vhodného konstantního násobku jednotkové matice (souvisí se zvětšením nebo zmenšením, tj. se změnou objemu) a deviátor (souvisí se zmenou tvaru bez započtení zvětšení či zmenšení).

Pro využití v dřevařských úlohách viz též A. Požgaj, Štruktúra a vlastnosti dreva str 318 nebo P. Horáček, Fyzikální a mechanické vlastnosti dřeva I, str. 40. Analogicky, ale pro rychlosti, je definován tenzor rychlosti přetvoření (deformační rychlost) používaný v hydrodynamice. Můžeme ji dostat jako derivaci tenzoru malých deformací (při studiu deformací), nebo jako symetrickou část matice vytvořené gradienty jednotlivých komponent rychlosti proudění. Pro proudění vody viz J. Říha, Matematické modelování hydrodynamických a disperzních jevů, kap. 3.3.

Obrázky a online výpočty.