% Logistická rovnice % Robert Mařík % rukopis 26. ledna 2017, revize 10. února 2017 ## Co je posláním tohoto dokumentu? Tento dokument je ukázka, jak může vypadat [projekt](http://user.mendelu.cz/marik/am/projekt/) odevzdaný do [Aplikované matematiky](http://user.mendelu.cz/marik/am). Vznikl strojovým překladem z a ruční editací. ## Úvod Růst mnoha přírodních populací závisí na hustotě populace. Je-li velikost populace nízká, neuplatňuje se konkurence a populace roste rychle. Tím, že populace roste, je větší konkurence a boj o zdroje pro přežití a její růst zpomaluje. Hodnota nazývaná *nosná kapacita prostředí* je maximální hodnota velikosti populace, která je trvale udržitelná v dlouhodobém měřítku. Pro řídké populace, růst je často přímo úměrný velikosti populace, a pro populace v blízkosti nosné kapacity prostředí je růst zhruba úměrný rozdílu mezi nosnou kapacitou prostředí a velikosti populace. ## Matematický model Je-li $C$ nosná kapacita prostředí, $k$ konstanta úměrnosti představující tempo růstu, kdy hustota populace je velmi nízká, je jednou z možností jak modelovat růst populace rovnice $$\frac{dN}{dt}=kN\left(1-\frac NC\right), \tag{1}$$ kde $N$ je velikost populace v čase $t$ (nebo hustota populace) a $\frac{dN}{dt}$ je rychlost změny velikosti této populace (nebo hustoty populace). Všimněte si, že když je $N$ malé, pak je rovnice blízká rovnici $$\frac{dN}{dt}=kN,$$ protože $N$ je mnohem menší než $C$. Z toho důvodu roste velikost populace $N$ exponenciálně. Avšak, jak se $N$ zvyšuje směrem k $C$, rychlost růstu se snižuje a v blízkosti $C$ máme přibližně $$\frac{dN}{dt}=k(C-N),$$ kde se pravá strana blíží k nule jakmile se $C$ blíží k $N$. Rovnici (1) je možné vyřešit a jejím řešením je funkce $$N=\frac{C}{1-e^{-kt-A}}.\tag{2}$$ ## Příklad Předpokládejme, že pro orla bělohlavého je v určité oblasti nosná kapacita prostředí $14.2$ orlů na kilometr čtvereční. Tempo růstu při řídkém osídlení je $k = 40\%$ ročně. Průzkum z roku 1998 ukazuje, že hustota osídlení byla $3.1$ orlů na kilometr čtvereční. Odhadněte další vývoj populace za předpokladu, že všechny vnější podmínky zůstanou beze změny, tj. že nosná kapacita prostředí $C$ a tempo růstu $k$ zůstávají beze změny. *Rešení:* Čas budeme měřit v letech a přitom se odkazovat na rok 1998 jako na čas $t = 0$. Při $t = 0$ má rovnice (2) tvar $$3.1=\frac{14.2}{1+e^{-A}}$$ a běžnými algebraickými úpravami dostáváme $A=-1.2755$. Hustota populace je tedy dána vztahem $$N=\frac{14.2}{1-e^{-0.4t+1.2755}}.$$ ## Zdrojové kódy Tento dokument je vystaven na . Zdrojový text v jazyce Markdown je k dispozici na , PDF verze je na adrese . PDF je vytvořeno následujícím příkazem. ~~~ pandoc logisticka_rovnice.txt -s -o logisticka_rovnice.pdf ~~~ Html je vytvořeno následujícím příkazem. ~~~ pandoc --toc --css=pandoc.css -s --mathjax="http://cdn.mathjax.org/mathjax/latest/MathJax.js?config=TeX-AMS-MML_HTMLorMML" logisticka_rovnice.txt -o index.html ~~~ Aby se html zobrazovalo pěkně, tak v adresáři musí být ještě soubor . Je možné vytvořit i [slidy](http://user.mendelu.cz/marik/am/projekt/1/slides.html) ~~~ pandoc -t slidy -s --mathjax="http://cdn.mathjax.org/mathjax/latest/MathJax.js?config=TeX-AMS-MML_HTMLorMML" logisticka_rovnice.txt -o slides.html ~~~