Obycejne diferencialni rovnice

3 Obyčejné diferenciální rovnice

Obyčejná diferenciální rovnice je rovnice, kde vystupuje neznámá funkce a její derivace. Setkáváme se s ní například všude tam, kde rychlost růstu nebo poklesu veličiny souvisí s její velikostí. Například rychlost s jakou se mění teplota horkého tělesa je funkcí teploty samotné. Rychlost tepelné výměny mezi dvěma tělesy je totiž úměrná rozdílu jejich teplot (Newtonův zákon).

Řád diferenciální rovnice je řád nejvyšší derivace, ve které se hledaná funkce vyskytuje. Například rovnice

\[ y' + x\ln y = 2 \]

je diferenciální rovnice prvního řádu, rovnice

\[ y'' + y' − 2y =\sin x \]

je diferenciální rovnice druhého řádu.

Z fyzikálního hlediska diferenciální rovnice popisuje mechanismus vývoje systému. Diferenciální rovnice prvního řádu se vyskytují například v rovnici tepelné výměny

\[ y' = −k(y − T), \]

teplota $ \displaystyle y$ horkého tělesa se mění (rychlost změny je derivace $ \displaystyle y'$ ) tak, že klesá (znaménko minus) rychlostí úměrnou (konstanta $ \displaystyle k$ ) teplotnímu rozdílu mezi teplotou tělesa a teplotou okolí (člen $ \displaystyle y − T$ ).

Diferenciální rovnice druhého řádu se vyskytují v mechanice: je-li $ \displaystyle y$ poloha, je $ \displaystyle y'$ rychlost a $ \displaystyle y''$ zrychlení. Potom je podle Newtonova pohybového zákona pohyb tělesa na které působí v bodě $ \displaystyle y$ vnější síla $ \displaystyle f(y,y')$ dán rovnicí $ \displaystyle my'' = f(y,y')$ . Je-li $ \displaystyle y$ například rovnovážná poloha při kmitavém pohybu tělesa na pružině, je síla působící na toto těleso složena ze síly způsobené deformací pružiny a odporem prostředí. První složka je v lineárním přiblížení úměrná výchylce $ \displaystyle y$ , druhá je úměrná rychlosti $ \displaystyle y'$ . Označíme-li konstanty úměrnosti $ \displaystyle k$ a $ \displaystyle b$ , je tento pohyb popsán rovnicí

\[ y'' − \frac{b} {m}y' + \frac{k} {m}y = 0. \]

3.1 Úvod a numerické řešení obyčejných diferenciálních rovnic prvního řádu

Definice 3.1 (obyčejná diferenciální rovnice). Obyčejnou diferenciální rovnicí prvního řádu rozřešenou vzhledem k derivaci (stručně - diferenciální rovnicí, DR) s neznámou $ \displaystyle y$ rozumíme rovnici tvaru

\[ y' =\varphi (x,y), \]

(3.1)

kde $ \displaystyle \varphi $ je funkce dvou proměnných.

Diferenciální rovnice udává scénář vývoje systému. K jednoznačnému předpovězení budoucího stavu je ovšem nutno znát nejenom, jaký mechanismus ovlivňuje vývoj systému, ale také stav současný. Viz například diferenciální rovnice ochlazování. Teplota v budoucnu, například za minutu, se pro stejný objekt za stejných podmínek může lišit – stačí nechat objekt jednou ochlazovat z počáteční teploty $ \displaystyle 100^{∘}C$ a jednou z počáteční teploty $ \displaystyle 50^{∘}C$ .

Definice 3.2 (počáteční podmínka). Nechť $ \displaystyle x_{0}$ , $ \displaystyle y_{0}$ jsou reálná čísla. Úloha najít řešení rovnice (3.1), které splňuje zadanou počáteční podmínku

\[ y(x_{0}) = y_{0} \]

(3.2)

se nazývá počáteční (též Cauchyova) úloha. Jejím řešením rozumíme funkci, která splňuje podmínku (3.2) a je na nějakém intervalu obsahujícím bod $ \displaystyle x_{0}$ řešením rovnice (3.1).

Řešení Cauchyovy úlohy nazýváme též partikulárním řešením rovnice (3.1). Graf libovolného partikulárního řešení se nazývá integrální křivka.

Obrázek 20: Směrové pole diferenciální rovnice

Poznámka 3.1 (geometrická interpretace diferenciální rovnice). Protože derivace funkce v bodě udává směrnici tečny ke grafu funkce v tomto bodě, lze rovnici (3.1) chápat jako předpis, který každému bodu v rovině přiřadí směrnici tečny k integrální křivce, která tímto bodem prochází. Sestrojíme-li v dostatečném počtu (například i náhodně zvolených) bodů $ \displaystyle [x,y]$ v rovině vektory $ \displaystyle (1,\varphi (x,y))$ , obdržíme směrové pole diferenciální rovnice — systém lineárních elementů, které jsou tečné k integrálním křivkám.

Počáteční podmínka (3.2) geometricky vyjadřuje skutečnost, že graf příslušného řešení prochází v rovině bodem $ \displaystyle [x_{0},y_{0}]$ . Má-li tato počáteční úloha jediné řešení, neprochází bodem $ \displaystyle [x_{0},y_{0}]$ žádná další křivka. Má-li každá počáteční úloha jediné řešení (což bude pro nás velice častý případ), znamená to, že integrální křivky se nikde neprotínají.

Poznámka 3.2 (numerické řešení počáteční úlohy). Řešení počáteční úlohy lze numericky aproximovat poměrně snadno: začneme v bodě zadaném počáteční podmínkou a v okolí tohoto bodu nahradíme integrální křivku její tečnou. Tím se dostaneme do dalšího bodu, odkud opět integrální křivku aproximujeme tečnou. Směrnici tečny zjistíme z diferenciální rovnice, buď přímo z derivace (Eulerova metoda), nebo poněkud rafinovaněji, kdy bereme v úvahu i konvexnost či konkávnost a fakt, že se derivace mění s měnícím se $ \displaystyle x$ i $ \displaystyle y$ (metoda Runge–Kutta). Stačí tedy mít zvolen krok numerické metody (délku intervalu, na kterém aproximaci tečnou použijeme) a výstupem metody bude aproximace integrální křivky pomocí lomené čáry.

3.2 Diferenciální rovnice se separovatelnými proměnnými

Definice 3.3 (DR se separovanými proměnnými). Diferenciální rovnice tvaru

\[ y' = f(x)g(y), \]

(3.3)

kde $ \displaystyle f$ a $ \displaystyle g$ jsou funkce spojité na (nějakých) otevřených intervalech se nazývá obyčejná diferenciální rovnice se separovanými proměnnými.

Řešení DR se separovanými proměnnými

(i)

Má-li algebraická rovnice $ \displaystyle g(y) = 0$ řešení $ \displaystyle k_{1}$ , $ \displaystyle k_{2}$ , …, $ \displaystyle k_{n}$ , jsou konstantní funkce $ \displaystyle y\equiv k_{1}$ , $ \displaystyle y\equiv k_{2}$ , …, $ \displaystyle y\equiv k_{n}$ řešeními rovnice.

(ii)

Pracujme na intervalech, kde $ \displaystyle g(y)\neq 0$ . Formálně nahradíme derivaci $ \displaystyle y'$ podílem diferenciálů $ \displaystyle \frac{\, \mathrm{d}y} {\, \mathrm{d}x}$

\[ \frac{\, \mathrm{d}y} {\, \mathrm{d}x} = f(x)g(y). \]

(3.4)

(iii)

Odseparujeme proměnné

\[ \frac{\, \mathrm{d}y} {g(y)} = f(x)\, \mathrm{d}x. \]

(3.5)

(iv)

Získanou rovnost (3.5) integrujeme

\[ \int \frac{\, \mathrm{d}y} {g(y)} =\int f(x)\, \mathrm{d}x + C. \]

(3.6)

(v)

Pokud je zadána počáteční podmínka, je možné ji na tomto místě dosadit do obecného řešení a určit hodnotu konstanty $ \displaystyle C$ . Tuto hodnotu poté dosadíme zpět do obecného řešení a obdržíme řešení partikulární.

(vi)

Pokud je to možné, převedeme řešení (obecné nebo partikulární) do explicitního tvaru (”vyjádříme” odsud $ \displaystyle y$ ).

Poznámka 3.3 (řešitelnost a jednoznačnost). Je-li $ \displaystyle g(y_{0})\neq 0$ , je řešení počáteční úlohy (3.3), (3.2), které obdržíme pomocí předchozího postupu, definované a jednoznačně určené v nějakém okolí bodu $ \displaystyle x_{0}$ .

Poznámka 3.4 (využití určitého integrálu namísto neurčitého). Partikulární řešení počáteční úlohy (3.3)–(3.2) lze místo (3.6) psát též přímo ve tvaru určitého integrálu

\[ \int _{y_{0}}^{y} \frac{\mathrm{d}t} {g(t)} =\int _{ x_{0}}^{x}f(t)\mathrm{d}t. \]

(3.7)

Ve většině případů dokážeme identifikovat, zda diferenciální rovnice je rovnice se separovanými proměnnými tak, že z rovnice vyjádříme derivaci a pravou stranu rovnice se snažíme rozložit na součin dvou funkcí jedné proměnné podle vzoru (3.3). Věta 1.5 udává jednoduše použitelné kritérium, které umožní poznat, zda vůbec lze tento rozklad na součin provést.

3.3 Lineární diferenciální rovnice prvního řádu

Definice 3.4 (lineární DR). Nechť funkce $ \displaystyle a$ , $ \displaystyle b$ jsou spojité na intervalu $ \displaystyle I$ . Rovnice

\[ y' + a(x)y = b(x) \]

(3.8)

se nazývá obyčejná lineární diferenciální rovnice prvního řádu (zkráceně píšeme LDR). Je-li navíc $ \displaystyle b(x)\equiv 0$ na $ \displaystyle I$ , nazývá se rovnice (3.8) homogenní, v opačném případě nehomogenní.

Poznámka 3.5 (řešitelnost a jednoznačnost). Jsou-li funkce $ \displaystyle a$ , $ \displaystyle b$ spojité na intervalu $ \displaystyle I$ , $ \displaystyle x_{0}\in I$ a $ \displaystyle y_{0}\in \mathbb{R}$ libovolné, má každá počáteční úloha (3.8)–(3.2) právě jedno řešení definované na celém intervalu $ \displaystyle I$ .

Definice 3.5 (homogenní rovnice). Buď dána rovnice (3.8). Homogenní rovnice, která vznikne z rovnice (3.8) nahrazením pravé strany nulovou funkcí, tj. rovnice

\[ y' + a(x)y = 0 \]

(3.9)

se nazývá homogenní rovnice, asociovaná s nehomogenní rovnicí (3.8).

Poznámka 3.6 (triviální řešení). Homogenní lineární diferenciální rovnice má vždy (bez ohledu na konkrétní tvar funkce $ \displaystyle a(x)$ ) konstantní řešení $ \displaystyle y = 0$ , jak lze ověřit přímým dosazením. Toto řešení se nazývá triviální řešení a v praktických úlohách zpravidla nemívá žádný význam.

Poznámka 3.7 (operátorová symbolika). Definujeme-li na množině všech funkcí diferencovatelných na intervalu $ \displaystyle I$ operátor $ \displaystyle L$ vztahem

\[ L[y](x) = y'(x) + a(x)y(x) \]

pro každé $ \displaystyle x\in I$ , je možno diferenciální rovnici (3.8) a s ní asociovanou homogenní rovnici zapsat v krátkém tvaru $ \displaystyle L[y] = b(x)$ a $ \displaystyle L[y] = 0$ .

Poznámka 3.8 (linearita operátoru $ \displaystyle L$ ). Operátor $ \displaystyle L$ splňuje pro všechna reálná čísla $ \displaystyle C_{1}$ , $ \displaystyle C_{2}$ a všechny diferencovatelné funkce $ \displaystyle y_{1}(x)$ , $ \displaystyle y_{2}(x)$ vztah

\[ L[C_{1}y_{1} + C_{2}y_{2}] = C_{1}L[y_{1}] + C_{2}L[y_{2}]. \]

Vskutku:

\[ \begin{align*} L[C_{1}y_{1} + C_{2}y_{2}](x) & ={\Bigl ( C_{1}y_{1}(x) + C_{2}y_{2}(x)\Bigr )}' + a(x){\Bigl (C_{1}y_{1}(x) + C_{2}y_{2}(x)\Bigr )} & & \\ & = C_{1}y_{1}'(x) + C_{2}y_{2}'(x) + a(x)C_{1}y_{1}(x) + a(x)C_{2}y_{2}(x) & & \\ & = C_{1}{\Bigl (y_{1}'(x) + a(x)y_{1}(x)\Bigr )} + C_{2}{\Bigl (y_{2}'(x) + a(x)y_{2}(x)\Bigr )} & & \\ & = C_{1}L[y_{1}](x) + C_{2}L[y_{2}](x). & & \\\end{align*}\]

Věta 3.1 (princip superpozice). Pro libovolné diferencovatelné funkce $ \displaystyle y$ , $ \displaystyle y_{1}$ a $ \displaystyle y_{2}$ a libovolné reálné číslo $ \displaystyle C$ platí

\[ \eqalignno{ &L[y_{1}] = 0 & &\Rightarrow & &L[C\cdot y_{1}] = C\cdot 0 = 0, & & & & & & \cr &L[y_{1}] = 0\text{ a }L[y_{2}] = f(x) &\qquad &\Rightarrow &\qquad &L[C\cdot y_{1} + y_{2}] = C\cdot 0 + f(x) = f(x), & & & & & & \cr &L[y_{1}] = L[y_{2}] = f(x) & &\Rightarrow & &L[y_{1} − y_{2}] = f(x) − f(x) = 0, & & & & & & \cr & & & & & & }\]

Zformulujme si nejdůležitější z těchto poznatků do následující věty.

Věta 3.2 (obecné řešení nehomogenní LDR). Uvažujme lineární diferenciální rovnici (3.8) a s ní asociovanou homogenní rovnici (3.9).

Je-li $ \displaystyle y_{p}(x)$ libovolné partikulární řešení nehomogenní LDR a $ \displaystyle y_{p0}(x)$ nenulové partikulární řešení asociované homogenní LDR, je funkce

\[ y(x,C) = y_{p}(x) + Cy_{p0}(x) \]

(3.10)

obecným řešením nehomogenní LDR.

Slovně:

Všechna řešení homogenní lineární rovnice jsou násobky jednoho libovolného nenulového řešení této rovnice.
Součet jednoho libovolného řešení zadané nehomogenní a obecného řešení asociované homogenní lineární rovnice je obecným řešením dané nehomogenní rovnice.

Stačí tedy najít dvě (do jisté míry speciální) řešení a z nich snadno sestavíme obecné řešení zadané rovnice. Tímto se bude zabývat v následujících odstavcích.

3.4 Homogenní LDR

Podle definice je homogenní LDR rovnice tvaru (3.9)

\[ y' + a(x)y = 0. \]

Tato rovnice je rovnice se separovanými proměnnými. Její nenulové řešení však můžeme snadno uhodnout. Vskutku: rovnici je možno přepsat na tvar

\[ y' = −a(x)y \]

a slovně lze problém řešení lineární homogenní rovnice formulovat následovně: nalezněte funkci $ \displaystyle y$ takovou, že její derivace je rovna funkci samotné, vynásobené navíc faktorem $ \displaystyle (−a(x))$ . Uvědomíme-li si, že funkce, která je rovna svojí derivaci je (mimo jiné) exponenciální funkce $ \displaystyle e^{x}$ , můžeme řešení problému hledat ve tvaru exponenciální funkce, kde se po derivaci faktor $ \displaystyle (−a(x))$ objeví jako derivace vnitřní složky. V exponentu tedy musí figurovat výraz, jehož derivace je $ \displaystyle (−a(x))$ . Řešením homogenní rovnice je tedy funkce $ \displaystyle y = e^{−\int a(x)\, \mathrm{d}x}$ a (jak plyne z linearity) i její libovolný násobek. Vidíme, že pro obecné řešení rovnice (3.9) dostáváme vzorec

\[ y(x,C) = Ce^{−\int a(x)\, \mathrm{d}x},\qquad C\in \mathbb{R}. \]

(3.11)

Homogenní rovnici lze tedy se znalostí obecné teorie vyřešit překvapivě snadno.

3.5 Nehomogenní LDR – metoda variace konstanty

Poznámka 3.9 (aplikace operátoru $ \displaystyle L$ na součin funkcí). Než začneme hledat řešení nehomogenní rovnice, prozkoumejme, jak se lineární operátor $ \displaystyle L$ chová vzhledem k součinu funkcí. Postupným rozepsáním definice operátoru, derivací součinu, částečným vytknutím a opětovným použitím definice operátoru $ \displaystyle L$ dostáváme pro libovolné dvě diferencovatelné funkce $ \displaystyle u$ , $ \displaystyle v$

\[ \begin{align*} L[u\cdot v](x) & ={\Bigl ( u(x)v(x)\Bigr )}' + a(x)u(x)v(x) & & \\ & = u'(x)v(x) + u(x)v'(x) + a(x)u(x)v(x) & & \\ & = v(x){\Bigl (u'(x) + a(x)u(x)\Bigr )} + u(x)v'(x) & & \\ & = v(x)L[u](x) + u(x)v'(x). & & \\\end{align*}\]

Tento výpočet ukazuje, že pokud platí $ \displaystyle L[u] = 0$ , tj. pokud je funkce $ \displaystyle u$ řešením asociované homogenní diferenciální rovnice, je možno řešení nehomogenní rovnice $ \displaystyle L[y] = b(x)$ hledat ve tvaru součinu $ \displaystyle y(x) = u(x)v(x)$ , kde funkce $ \displaystyle v(x)$ splňuje vztah

\[ b(x) = L[u\cdot v](x) = v(x)L[u](x) + u(x)v'(x) = 0 + u(x)v'(x) = u(x)v'(x). \]

tj. $ \displaystyle v'(x) = b(x)\bigm /u(x)$ . Odsud však funkci $ \displaystyle v$ můžeme nalézt již pouhou integrací a součin $ \displaystyle u(x)v(x)$ poté bude řešením nehomogenní rovnice. V praxi je také obvyklé, že si pamatujeme pouze hlavní myšlenku – budeme hledat řešení nehomogenní rovnice ve tvaru součinu nějaké funkce a řešení asociované homogenní rovnice – a provádíme všechny úvahy pro konkrétní funkce $ \displaystyle a$ , $ \displaystyle b$ v ”běžném” neoperátorovém označení.

3.6 Lineární diferenciální rovnice druhého řádu

Definice 3.6 (lineární diferenciální rovnice druhého řádu). Buďte $ \displaystyle p$ , $ \displaystyle q$ a $ \displaystyle f$ funkce definované a spojité na intervalu $ \displaystyle I$ . Diferenciální rovnice

\[ y'' + p(x)y' + q(x)y = f(x) \]

(3.12)

se nazývá lineární diferenciální rovnice druhého řádu (zkráceně LDR druhého řádu). Řešením rovnice (nebo též integrálem rovnice) na intervalu $ \displaystyle I$ rozumíme funkci, která má spojité derivace do řádu $ \displaystyle 2$ na intervalu $ \displaystyle I$ a po dosazení identicky splňuje rovnost (3.12) na $ \displaystyle I$ . Úloha nalézt řešení rovnice, které splňuje v bodě $ \displaystyle x_{0}\in I$ počáteční podmínky

\[ \left \{\array{ y(x_{0}) = y_{0},\quad \cr y'(x_{0}) = y'_{0},\quad } \right . \]

(3.13)

kde $ \displaystyle y_{0}$ a $ \displaystyle y'_{0}$ jsou reálná čísla, se nazývá počáteční úloha (Cauchyova úloha). Řešení počáteční úlohy se nazývá partikulární řešení rovnice (3.12).

Poznámka 3.10 (existence a jednoznačnost). Každá počáteční úloha pro rovnici (3.12) má řešení, které je určeno jednoznačně a toto řešení je definované na celém intervalu $ \displaystyle I$ .

Definice 3.7 (obecné řešení). Všechna řešení LDR druhého řádu (3.12) lze vyjádřit ve tvaru obsahujícím dvě nezávislé konstanty $ \displaystyle C_{1}$ , $ \displaystyle C_{2}\in \mathbb{R}$ . Takovýto předpis se nazývá obecné řešení rovnice (3.12).

Poznámka 3.11 (operátorová symbolika). Podobně jako lineární diferenciální rovnice prvního řádu, i zde často pravou stranu rovnice často zkracujeme do tvaru $ \displaystyle L[y](x)$ . Definujeme-li tedy

\[ L[y](x) = y''(x) + p(x)y'(x) + q(x)y(x), \]

(3.14)

je tímto předpisem definován operátor, který každé dvakrát diferencovatelné funkci přiřazuje levou stranu rovnice (3.12). Rovnici (3.12) je potom možno zapsat ve tvaru $ \displaystyle L[y] = f(x)$ .

Definice 3.8 (speciální typy LDR druhého řádu). Platí-li v rovnici (3.12) $ \displaystyle f(x) = 0$ pro všechna $ \displaystyle x\in I$ , nazývá se rovnice (3.12) homogenní, v opačném případě nehomogenní. Jsou-li koeficienty $ \displaystyle p(x)$ a $ \displaystyle q(x)$ na intervalu $ \displaystyle I$ konstantní funkce, nazývá se (3.12) rovnice s konstantními koeficienty.

Poznámka 3.12 (triviální řešení). Funkce $ \displaystyle y(x)\equiv 0$ je řešením homogenní LDR 2. řádu vždy, bez ohledu na tvar koeficientů $ \displaystyle p$ , $ \displaystyle q$ . (Ověřte sami dosazením.) Toto řešení nazýváme triviální řešení rovnice (3.12).

Definice 3.9 (asociovaná homogenní rovnice). Nahradíme-li v nehomogenní LDR (3.12) pravou stranu (tj. funkci $ \displaystyle f$ ) nulovou funkcí obdržíme rovnici

\[ y'' + p(x)y' + q(x)y = 0. \]

(3.15)

Tato rovnice se nazývá asociovaná homogenní rovnice k rovnici (3.12).

Věta 3.3 (linearita a princip superpozice). Operátor (3.14) zachovává lineární kombinaci funkcí, tj. pro libovolné dvě funkce $ \displaystyle y_{1}$ a $ \displaystyle y_{2}$ a libovolné reálné konstanty $ \displaystyle C_{1}$ a $ \displaystyle C_{2}$ platí

\[ L[C_{1}y_{1} + C_{2}y_{2}] = C_{1}L[y_{1}] + C_{2}L[y_{2}]. \]

(3.16)

Jako speciální případ vztahu (3.16) dostáváme implikace

\[ \begin{align*} &L[y_{2}] = 0\text{ a }L[y_{1}] = f(x)\ \Rightarrow \ L[y_{1} + y_{2}] = f(x), & & \\ &L[y_{1}] = L[y_{2}] = f(x)\ \Rightarrow \ L[y_{1} − y_{2}] = 0, & & \\ &L[y_{1}] = L[y_{2}] = 0\ \Rightarrow \ L[C_{1}y_{1} + C_{2}y_{2}] = 0, & & \\ & & \\\end{align*}\]

Součet řešení zadané nehomogenní a asociované homogenní LDR je řešením dané nehomogenní rovnice.
Rozdíl dvou řešení nehomogenní LDR je řešením asociované homogenní rovnice.
Každá lineární kombinace dvou řešení homogenní LDR je opět řešením této rovnice.

3.7 Homogenní LDR 2. řádu

V této podkapitole budeme studovat homogenní LDR druhého řádu, tj. rovnici (3.15)

\[ y'' + p(x)y' + q(x)y = 0, \]

kterou můžeme zkráceně zapsat jako $ \displaystyle L[y] = 0$ , kde operátor $ \displaystyle L$ je lineární diferenciální operátor druhého řádu definovaný vztahem (3.14).

Motivace. Budeme předpokládat že funkce $ \displaystyle y_{1}(x)$ a $ \displaystyle y_{2}(x)$ jsou obě řešeními a budeme hledat podmínky, za kterých je funkce

\[ y(x) = C_{1}y_{1}(x) + C_{2}y_{2}(x) \]

obecným řešením. Derivováním tohoto vztahu získáváme

\[ y'(x) = C_{1}y'_{1}(x) + C_{2}y'_{2}(x) \]

a dosazení počátečních podmínek $ \displaystyle y(\alpha ) =\beta $ , $ \displaystyle y'(\alpha ) = γ$ vede k následující soustavě lineárních rovnic s neznámými $ \displaystyle C_{1}$ , $ \displaystyle C_{2}$

\[ \begin{aligned}\beta & = C_{1}y_{1}(\alpha ) + C_{2}y_{2}(\alpha ),& \\γ& = C_{1}y'_{1}(\alpha ) + C_{2}y'_{2}(\alpha ). \\ \end{aligned} \]

(3.17)

Jak je známo z lineární algebry, tato soustava má právě jedno řešení pro libovolnou volbu čísel $ \displaystyle \beta $ , $ \displaystyle γ$ právě tehdy, když matice soustavy, tj. matice $ \displaystyle \left (\array{ y_{1}(\alpha )& y_{2}(\alpha ) \cr y_{1}'(\alpha )& y_{2}'(\alpha )} \right ),$ je regulární. Tato matice je regulární právě tehdy, když její determinant je nenulový a to nastane právě tehdy když jeden sloupec není násobkem druhého. Tímto motivujeme následující definice.

Definice 3.10 (lineární (ne-)závislost funkcí). Buďte $ \displaystyle y_{1}$ a $ \displaystyle y_{2}$ funkce definované na intervalu $ \displaystyle I$ . Řekneme, že funkce $ \displaystyle y_{1}$ a $ \displaystyle y_{2}$ jsou na intervalu $ \displaystyle I$ lineárně závislé, jestliže jedna z nich je na intervalu $ \displaystyle I$ násobkem druhé, tj. jestliže existuje reálné číslo $ \displaystyle k\in \mathbb{R}$ s vlastností

\[ y_{1}(x) = ky_{2}(x)\qquad \text{pro všechna $x\in I$}, \]

nebo

\[ y_{2}(x) = ky_{1}(x)\qquad \text{pro všechna $x\in I$}. \]

V opačném případě říkáme, že funkce $ \displaystyle y_{1}$ , $ \displaystyle y_{2}$ jsou na intervalu $ \displaystyle I$ lineárně nezávislé.

Definice 3.11 (Wronskián). Buďte $ \displaystyle y_{1}(x)$ a $ \displaystyle y_{2}(x)$ dvě libovolná řešení homogenní rovnice (3.15). Wronskiánem funkcí $ \displaystyle y_{1}(x)$ , $ \displaystyle y_{2}(x)$ rozumíme determinant

\[ W[y_{1},y_{2}](x) = \left \vert \array{ y_{1}(x)& y_{2}(x) \cr y_{1}'(x)& y_{2}'(x)} \right \vert = y_{1}(x)y_{2}'(x)−y_{1}'(x)y_{2}(x). \]

(3.18)

Věta 3.4 (lineární (ne)závislost). Buďte $ \displaystyle y_{1}(x)$ a $ \displaystyle y_{2}(x)$ dvě řešení rovnice (3.15) na intervalu $ \displaystyle I$ . Tato řešení jsou lineárně nezávislá právě tehdy když je jejich Wronskián různý od nuly na intervalu $ \displaystyle I$ .

Tuto větu je snadné dokázat: stačí derivovat podíl funkcí $ \displaystyle y_{2}∕y_{1}$ . Derivací podílu dostaneme zlomek, který v čitateli obsahuje právě wronskián a pokud je podíl konstantní, musí tato derivace (a tedy i wronskián) být rovna nule.

Věta 3.5 (obecné řešení homogenní LDR). Jsou-li $ \displaystyle y_{1}$ a $ \displaystyle y_{2}$ dvě netriviální lineárně nezávislá řešení rovnice (3.15) na intervalu $ \displaystyle I$ , pak funkce $ \displaystyle y$ definovaná vztahem

\[ y(x,C_{1},C_{2}) = C_{1}y_{1}(x) + C_{2}y_{2}(x), \]

(3.19)

kde $ \displaystyle C_{1,2}\in \mathbb{R}$ , je obecným řešením rovnice (3.15) na intervalu $ \displaystyle I$ .

Definice 3.12 (fundamentální systém řešení). Dvojici funkcí $ \displaystyle y_{1}$ a $ \displaystyle y_{2}$ z předchozí věty nazýváme fundamentální systém řešení rovnice (3.15).

3.8 Homogenní LDR 2. řádu s konstantními koeficienty

Budeme studovat rovnici tvaru

\[ y'' + py' + qy = 0, \]

(3.20)

kde $ \displaystyle p,q\in \mathbb{R}$ . Všimněme si nejprve následujícího faktu: Dosadíme-li do levé strany rovnice $ \displaystyle y = e^{zx}$ , kde $ \displaystyle z$ je reálné číslo, po výpočtu derivací a po vytknutí faktoru $ \displaystyle e^{zx}$ získáváme

\[ y'' + py' + qy = e^{zx}(z^{2} + pz + q). \]

Protože exponenciální faktor na pravé straně je vždy nenulový, bude výraz na pravé straně roven nule pokud bude splněna podmínka

\[ z^{2} + pz + q = 0. \]

(3.21)

Pouze v tomto případě bude uvažovaná funkce řešením rovnice (3.20).

Definice 3.13 (charakteristická rovnice). Kvadratická rovnice (3.21) s neznámou $ \displaystyle z$ se nazývá charakteristická rovnice pro rovnici (3.20).

Věta 3.6 (fundamentální systém řešení LDR s konstantními koeficienty). Uvažujme DR (3.20) a její charakteristickou rovnici (3.21).

Jsou-li $ \displaystyle z_{1},z_{2}\in \mathbb{R}$ dva různé reálné kořeny charakteristické rovnice (3.21), definujme $ \displaystyle \class{boxed}{y_{1} = e^{z_{1}x} }$ a $ \displaystyle \class{boxed}{y_{2} = e^{z_{2}x} }.$
Je-li $ \displaystyle z_{1}\in \mathbb{R}$ dvojnásobným kořenem charakteristické rovnice (3.21), definujme $ \displaystyle \class{boxed}{y_{1} = e^{z_{1}x} }$ a $ \displaystyle \class{boxed}{y_{2} = xe^{z_{1}x} }.$
Jsou-li $ \displaystyle z_{1,2} =\alpha \pm i\beta \not \in \mathbb{R}$ dva komplexně sdružené kořeny charakteristické rovnice (3.21), definujme $ \displaystyle \class{boxed}{y_{1}(x) = e^{\alpha x}\cos (\beta x) }$ a $ \displaystyle \class{boxed}{y_{2}(x) = e^{\alpha x}\sin (\beta x) }.$

Potom obecné řešení rovnice (3.20) je

\[ y(x,C_{1},C_{2}) = C_{1}y_{1}(x) + C_{2}y_{2}(x),\qquad C_{1}\in \mathbb{R},\ C_{2}\in \mathbb{R}. \]

Poznámka 3.13. Ze střední školy víme, že je-li nějaký pohyb popsán goniometrickými funkcemi $ \displaystyle y =\sin (ωt)$ a $ \displaystyle y =\cos (ωt)$ , jedná se o kmitavý pohyb a veličina $ \displaystyle ω$ se nazývá úhlová rychlost. Vydělením faktorem $ \displaystyle 2\pi $ dostáváme z úhlové rychlosti veličinu nazývanou frekvence. Je-li tedy $ \displaystyle x$ čas a pohyb je popsán rovnicí s komplexně sdruženými kořeny $ \displaystyle \alpha \pm i\beta $ , jedná se o kmitavý pohyb s úhlovou rychlostí $ \displaystyle \beta $ a frekvencí $ \displaystyle \frac{\beta }{2\pi }$ . Veličina $ \displaystyle \alpha $ , je-li nenulová, omezuje amplitudu tohoto pohybu: v praktických aplikacích vychází záporná a má význam exponenciálního tlumení.

3.9 Nehomogenní LDR 2. řádu

Nyní se budeme věnovat řešení nehomogenní diferenciální rovnice.

Věta 3.7 (důsledek principu superpozice). Součet libovolného partikulárního řešení nehomogenní lineární diferenciální rovnice a obecného řešení asociované homogenní rovnice je obecným řešením původní nehomogenní rovnice

Podle předchozí věty tedy k vyřešení lineární nehomogenní rovnice stačí nalézt jedno (partikulární) řešení této rovnice a obecné řešení asociované homogenní rovnice.

Jedním z řešení rovnice

\[ y'' + y = 6 \]

(3.22)

je zcela jistě funkce $ \displaystyle y(x) = 6$ . (Vidíme přímo po dosazení.) Fundamentálním systémem řešení asociované homogenní rovnice $ \displaystyle y'' + y = 0$ jsou funkce $ \displaystyle y_{1} =\sin x$ a $ \displaystyle y_{2} =\cos x$ . Obecné řešení (3.22) je tedy

\[ y(x) = C_{1}\cos x + C_{2}\sin x + 6. \]

Následující věta udává jednu z metod nalezení partikulárního řešení, pokud je diferenciální rovnice do jisté míry speciální: má konstantní koeficienty a polynomiální pravou stranu.

Věta 3.8 (metoda neurčitých koeficientů). Uvažujme lineární diferenciální rovnici druhého řádu

\[ y'' + py' + qy = P_{n}(x), \]

kde $ \displaystyle p\in \mathbb{R}$ je konstanta, $ \displaystyle q\in \mathbb{R}\setminus \{0\}$ je nenulová konstanta a $ \displaystyle P_{n}(x)$ je polynom stupně $ \displaystyle n$ . Existuje polynom stupně $ \displaystyle n$ , který je partikulárním řešením této diferenciální rovnice.

V praxi polynom který má být řešením napíšeme s neurčitými koeficienty a dosazením do rovnice určíme potřebné hodnoty těchto koeficientů.

3.10 Aplikace diferenciálních rovnic

(i): Označuje-li $ \displaystyle y$ míru znečištění jezera o objemu $ \displaystyle V $ , do kterého se již dále další nečistoty nedostávají a přitéká pouze čistá voda rychlostí $ \displaystyle c$ a odplavuje nečistoty, je tento proces modelován rovnicí samočištění jezer $ \displaystyle y' = −\frac{c} {V }y$ .
(ii): Označuje-li $ \displaystyle K$ nosnou kapacitu prostředí pro živočišný druh o velikosti $ \displaystyle y$ a mírou rychlosti rozmnožování (tzv. specifickou mírou růstu) $ \displaystyle r$ , je vývoj velikosti populace $ \displaystyle y$ popsán logistickou rovnicí $ \displaystyle y' = ry\left (1 − \frac{y} {K}\right )$ . V praxi velikost populace kolísá vlivem různých nepředvídatelných příčin. Vyspělejší organismy se s kolísáním životních podmínek vyrovnávají relativně dobře a proto se velikost jejich populace pohybuje trvale v okolí nosné kapacity $ \displaystyle K$ . Méně vyspělé organismy se se změnami prostředí nedokáží vyrovnat a populace může být zdecimována na malou úroveň, jakmile však nepříznivé podmínky pominou, dokáže se populace rychle zotavit, pokud projevuje vysokou specifickou míru růstu. Tyto dva způsoby reakce na změny životního prostředí se v ekologii nazývají $ \displaystyle K$ -strategie a $ \displaystyle r$ -strategie¹² .
(iii): Kmity tělesa o hmotnosti $ \displaystyle m$ pružně připevněného k nehybné podložce spojem tuhosti $ \displaystyle k$ jsou popsány diferenciální rovnicí $ \displaystyle \ddot{y} + \frac{k} {m}y = 0.$ Kmity matematického kyvadla¹³ jsou popsány diferenciální rovnicí $ \displaystyle \ddot{\varphi }+ \frac{l} {g}\varphi = 0.$ Zde navíc používáme fyzikální úzus označovat derivace podle času pomocí tečky a ne čárky. Symbol $ \displaystyle \ddot{y}$ tedy značí druhou derivaci funkce $ \displaystyle y$ , kde $ \displaystyle y$ bereme jako funkci času.

Více viz skriptum R. Mařík, Diferenciální rovnice a autonomní systémy, http://user.mendelu.cz/marik/aplikace/aplikace_diferencialnich_rovnic.pdf a další literatura.