Wolfram Alpha

integrate x^2*sin(x)

Mathematical Assistant on Web - spustit

Sage

integrate (x^2*sin(x),x).show()

spustit

Sage

funkce = x^2*sin(x)
# zobrazení funkce pro kontrolu
funkce.show()
# výsledek integrace podle x
funkce.integrate (x).show()
# je možné psát i
# integrate(funkce,x)

spustit

Maxima

integrate (x^2*sin(x),x);

spustit online, spustit online, zobrazit offline

Vypočtěte integrál \(\displaystyle \int_1^{e} \sqrt x\ln(x)\,\mathrm{d}x\).

Wolfram Alpha

integrate x^(1/2)*log(x) for x from 1 to e

spustit

Sage

integrate (x^(1/2)*log(x),(x,1,e)).show()

spustit

Maxima

integrate (x^(1/2)*log(x),x,1,%e);

spustit online, spustit online, zobrazit offline

Vypočtěte obsah množiny mezi křivkami \(\displaystyle y=1-x^2\) a \(\displaystyle y=(1-x)^2\) na intervalu \(\displaystyle [0,1]\).

Wolfram Alpha

find area between y=1-x^2 and y=(1-x)^2 for x from 0 to 1

spustit

Mathematical Assistant on Web - spustit

Sage

f(x)=1-x^2
g(x)=(1-x)^2;
vysledek=integrate(f-g,x,0,1)
vysledek.show()

spustit

Maxima

f:1-x^2;
g:(1-x)^2;
vysledek:integrate(f-g,x,0,1);

spustit online, spustit online, zobrazit offline

Vypočtěte obsah množiny mezi křivkami \(\displaystyle y=x^2\) a \(\displaystyle y=5-2x\).

Wolfram Alpha

find area between y=x^2 and y=5-2*x

spustit

Sage

f(x)=x^2
g(x)=5-2*x;
# hledani pruseciku
reseni=solve(f==g,x);
a=min(map(lambda x: x.rhs(),reseni))
b=max(map(lambda x: x.rhs(),reseni))
# vypocet integralu a obrazek
vysledek=integrate(g-f,x,a,b)
vysledek.show()
plot((f,g),x,a,b)

spustit

Maxima

f:x^2;
g:5-2*x;
/* reseni rovnice a nalezeni dolni a horni meze pro integraci */
reseni:solve(f=g,x);
a:lmin(map(lambda ([x],rhs(x)),reseni));
b:lmax(map(lambda ([x],rhs(x)),reseni));
/* integrace a jeji numericka aproximace */
vysledek:radcan(integrate(g-f,x,a,b));
vysledek,numer;
/* graf */
plot2d([f,g],[x,a,b]);

spustit online, spustit online, zobrazit offline

Vypočtěte dvojný integrál \(\displaystyle \iint_M (x^3+1)y\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y\) na množině \(\displaystyle M=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2: 0\leq x\leq 1, 0\leq y\leq x\}\).

Wolfram Alpha

integrate (x^3+1)*y, x from 0 to 1, y from 0 to x

spustit

Mathematical Assistant on Web - spustit

Sage

x,y=var('x,y')
show(integrate(integrate((x^3+1)*y,y,0,x),x,0,1))

spustit

Maxima

integrate(integrate((x^3+1)*y,y,0,x),x,0,1);

spustit online, spustit online, zobrazit offline

Vypočtěte dvojný integrál \(\displaystyle \iint_M x^3\, \mathrm{d}x\mathrm{d}y\) na množině \(\displaystyle M=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2: 0\leq x\leq 1, 1-x\leq y\leq 1-x^2\}\).

Wolfram Alpha

integrate x^3, x from 0 to 1, y from 1-x to 1-x^2

spustit

Sage

x,y=var('x,y')
html("Výsledek")
show(integrate(integrate(x^3,y,1-x,1-x^2),x,0,1))
html("Náhled množiny $M$")
region_plot([0 < x, x < 1, 1-x < y, y < 1-x^2], (x,0,1.2), (y,0,1.2)).show(aspect_ratio=1,figsize=5)

spustit

Maxima

integrate(integrate(x^3,y,1-x,1-x^2),x,0,1);

spustit online, spustit online, zobrazit offline

Vypočtěte křivkový integrál prvního druhu \(\displaystyle \int_C f\mathrm{d}s\) funkce \(\displaystyle f(x,y)=x\) po křivce \(\displaystyle C\), kterou tvoří kladně orientovaná hranice trojúhelníku s vrcholy \(\displaystyle [0,0]\), \(\displaystyle [2,0]\) a [0,1].

Sage

# ---> sbalit <--- 
# Vypocet krivkoveho integralu prvniho druhu
var('x y t')

################### zadani (je mozno upravit a dosadit vlastni zadani)

# integrovana funce
f = x

# krivka, muze mit libovolny pocet komponent tvaru ( x(t), y(t), tmin, tmax, volitelne barva )
krivka=[(t,0,0,2), (0,t,0,1,'green'), (2*t, 1-t, 0, 1, 'red')]

# Prepinac symbolicky/numericky. Pro numericky vypocet 'numericky=True'
numericky=False

#################### vlastni vypocet
html(r'$ f(x,y)=%s $' %(latex(f)) )
show(krivka)


def krivkovy_integral (f, k0, k1, a, b, numericky):
    if numericky:
        vysledek = numerical_integral (f.subs(x=k0, y=k1)*sqrt((diff(k0,t))^2+(diff(k1,t))^2),a,b)[0]
    else:
        vysledek = integral (f.subs(x=k0, y=k1)*sqrt((diff(k0,t))^2+(diff(k1,t))^2),t,a,b)
    return (vysledek)

PL=Graphics()
vysledek=0

for krivka_ in krivka:
    if len(krivka_)>4:
        barva=krivka_[4]
    else:
        barva='blue'
    PL=PL+parametric_plot((krivka_[0],krivka_[1]),(t,krivka_[2],krivka_[3]), thickness=5, color=barva)
    vysledek=vysledek+krivkovy_integral(f,krivka_[0],krivka_[1],krivka_[2],krivka_[3], numericky)

html(r'$\displaystyle\int_C f(x,y)\mathrm{d}s=%s $'% latex(vysledek) )

PL.show(aspect_ratio=1)

# <---- rozbalit --->
# kód je příliš dlouhý
# zobrazí se po rozbalení,
# nebo na stránce, na kterou vedou odkazy pro spuštění

spustit

Vypočtěte křivkový integrál druhého druhu \(\displaystyle \int_C \vec F\mathrm{d}\vec r\) funkce \(\displaystyle \vec F=(e^x-7y, \frac 13 x^3+xy^2)\) po křivce \(\displaystyle C\), kterou tvoří kladně orientovaná hranice čtvrtkruhu, který je průnikem kruhu se středem v počátku a o poloměru \(\displaystyle 2\) s množinou \(\displaystyle y\geq |x|\).

Sage

# ---> sbalit <--- 
# Vypocet krivkoveho integralu druheho druhu
var('x y t')

################### zadani (je mozno upravit a dosadit vlastni zadani)

# komponenty vektoroveho pole
P, Q = exp(x)-7*y, x^3/3+x*y^2

# krivka, muze mit libovolny pocet komponent tvaru ( x(t), y(t), tmin, tmax )
krivka=[(t,abs(t),-sqrt(2),sqrt(2)),(2*cos(t), 2*sin(t), pi/4, 3*pi/4, 'red')]

# Prepinac symbolicky/numericky. Pro numericky vypocet 'numericky=True'
numericky=False

#################### vlastni vypocet
html(r'$ \vec F=(P,Q)=(%s,%s) $' %(latex(P),latex (Q)) )
show(krivka)


def krivkovy_integral (P, Q, k0, k1,a, b, numericky):
    if numericky:
        vysledek = numerical_integral (P.subs(x=k0, y=k1)*diff(k0,t)+Q.subs(x=k0, y=k1)*diff(k1,t),a,b)[0]
    else:
        vysledek = integral (P.subs(x=k0, y=k1)*diff(k0,t)+Q.subs(x=k0, y=k1)*diff(k1,t),t,a,b)
    return (vysledek)

PL=Graphics()
vysledek=0

small=0.001
for krivka_ in krivka:
    if len(krivka_)>4:
        barva=krivka_[4]
    else:
        barva='blue'
    PL=PL+parametric_plot((krivka_[0],krivka_[1]),(t,krivka_[2],krivka_[3]), thickness=5, color=barva)
    PL=PL+arrow((krivka_[0](t=krivka_[3]-small), krivka_[1](t=krivka_[3]-small)),\
        (krivka_[0](t=krivka_[3]), krivka_[1](t=krivka_[3])), color=barva, arrowsize=10 )
    vysledek=vysledek+krivkovy_integral(P,Q,krivka_[0],krivka_[1],krivka_[2],krivka_[3],numericky)

PL=PL+plot_vector_field((P,Q), (x,PL.xmin(),PL.xmax()), (y,PL.ymin(),PL.ymax()))
vysledek = SR(vysledek).full_simplify()

html(r'$\displaystyle\int_C \vec F\mathrm{d}\vec r=%s $'% latex(vysledek))

PL.show(aspect_ratio=1)

# <---- rozbalit --->
# kód je příliš dlouhý
# zobrazí se po rozbalení,
# nebo na stránce, na kterou vedou odkazy pro spuštění

spustit

Vypočtěte integrál \(\displaystyle \int x^2 \sin x\,\mathrm{d}x\).

Vypočtěte integrál \(\displaystyle \int_1^{e} \sqrt x\ln(x)\,\mathrm{d}x\).

Vypočtěte obsah množiny mezi křivkami \(\displaystyle y=1-x^2\) a \(\displaystyle y=(1-x)^2\) na intervalu \(\displaystyle [0,1]\).

Vypočtěte obsah množiny mezi křivkami \(\displaystyle y=x^2\) a \(\displaystyle y=5-2x\).

Vypočtěte dvojný integrál \(\displaystyle \iint_M (x^3+1)y\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y\) na množině \(\displaystyle M=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2: 0\leq x\leq 1, 0\leq y\leq x\}\).

Vypočtěte dvojný integrál \(\displaystyle \iint_M x^3\, \mathrm{d}x\mathrm{d}y\) na množině \(\displaystyle M=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2: 0\leq x\leq 1, 1-x\leq y\leq 1-x^2\}\).

Vypočtěte křivkový integrál prvního druhu \(\displaystyle \int_C f\mathrm{d}s\) funkce \(\displaystyle f(x,y)=x\) po křivce \(\displaystyle C\), kterou tvoří kladně orientovaná hranice trojúhelníku s vrcholy \(\displaystyle [0,0]\), \(\displaystyle [2,0]\) a [0,1].