Využití systémů počítačové algebry (CAS) v matematice
Robert Mařík
Návody
Obsah
Základy práce¶Stálý odkaz na toto místo:
http://user.mendelu.cz/marik/akademie/index.html#zaklady-prace (přepnout na samostatnou stránku)
Napište desetiným číslem přibližnou hodnotu \(\displaystyle \pi\).
zobrazit/skrýtRoznásobte závorky ve výrazu \(\displaystyle x(x-1)(x+3)^2\).
zobrazit/skrýtRozložte na součin výraz \(\displaystyle x^4+5x^3+3x^2-9x\).
zobrazit/skrýtVyřešte rovnici \(\displaystyle 2e^{x^2-1}=3\).
zobrazit/skrýtVyřešte rovnici \(\displaystyle 2e^{x^2-1}=3\).
zobrazit/skrýtŘešíme přibližně desetinným číslem.
Diferenciální počet¶Stálý odkaz na toto místo:
http://user.mendelu.cz/marik/akademie/index.html#diferencialni-pocet (přepnout na samostatnou stránku)
Derivujte funkci \(\displaystyle y=x^2 \sin(x)\).
zobrazit/skrýtDerivujte funkci \(\displaystyle y=\ln \sqrt\frac{x-1}{x+1}\) a derivaci upravte.
zobrazit/skrýtVypočtěte druhou derivaci funkce \(\displaystyle y=\frac{x^3}{(x+1)^2}\).
zobrazit/skrýtNavíc derivaci upravíme rozkladem na součin.
Určete Taylorův polynom stupně \(\displaystyle 7\) pro funkci
\(\displaystyle y=\ln\frac{1+x}{1-x}\) se středem v bodě \(\displaystyle 0\).
zobrazit/skrýt\(\displaystyle y=\ln\frac{1+x}{1-x}\) se středem v bodě \(\displaystyle 0\).
Určete lokální extrémy funkce \(\displaystyle y=x(210-2x)(297-2x)\)
zobrazit/skrýtVypočtěte stacionární body funkce \(\displaystyle y=\frac{x^2}{x-1}\).
zobrazit/skrýt¶Stálý odkaz na toto místo:
http://user.mendelu.cz/marik/akademie/index.html#prubeh_funkceVyšetřete průběh funkce \(\displaystyle y=x^2(x-1)\).
zobrazit/skrýthttp://user.mendelu.cz/marik/akademie/index.html#prubeh_funkceVyšetřete průběh funkce \(\displaystyle y=x^2(x-1)\).
Integrální počet¶Stálý odkaz na toto místo:
http://user.mendelu.cz/marik/akademie/index.html#integralni-pocet (přepnout na samostatnou stránku)
Vypočtěte integrál \(\displaystyle \int x^2 \sin x\,\mathrm{d}x\).
zobrazit/skrýtVypočtěte integrál \(\displaystyle \int_1^{e} \sqrt x\ln(x)\,\mathrm{d}x\).
zobrazit/skrýtDiferenciální rovnice¶Stálý odkaz na toto místo:
http://user.mendelu.cz/marik/akademie/index.html#diferencialni-rovnice (přepnout na samostatnou stránku)
Nakreslete směrové pole rovnice \(\displaystyle y'=x+y^2\).
zobrazit/skrýtVyřešte diferenciální rovnici \(\displaystyle y'=\frac yx+1\).
zobrazit/skrýtVyřešte diferenciální rovnici \(\displaystyle y'=\frac yx+1\) s počáteční podmínkou \(\displaystyle y(1)=-3\)
zobrazit/skrýtVyřešte diferenciální rovnici \(\displaystyle y''+3y'+2y=x\).
zobrazit/skrýtVyřešte diferenciální rovnici \(\displaystyle y''+3y'+2y=x\) s počáteční podmínkou \(\displaystyle y(0)=0\), \(\displaystyle y'(0)=3\).
zobrazit/skrýt¶Stálý odkaz na toto místo:
http://user.mendelu.cz/marik/akademie/index.html#stacionarni_body_autonomniho_systemuNajděte stacionární body autonomního systému \(\displaystyle \left\{\begin{aligned}x'&=x + 2 \, y\\y'&={\left(y + 2\right)} {\left(x + 1\right)} y\end{aligned}\right.\).
V každém ze stacionárních bodů najděte vlastní čísla Jakobiho matice.
zobrazit/skrýthttp://user.mendelu.cz/marik/akademie/index.html#stacionarni_body_autonomniho_systemuNajděte stacionární body autonomního systému \(\displaystyle \left\{\begin{aligned}x'&=x + 2 \, y\\y'&={\left(y + 2\right)} {\left(x + 1\right)} y\end{aligned}\right.\).
V každém ze stacionárních bodů najděte vlastní čísla Jakobiho matice.
Grafika¶Stálý odkaz na toto místo:
http://user.mendelu.cz/marik/akademie/index.html#grafika (přepnout na samostatnou stránku)
¶Stálý odkaz na toto místo:
http://user.mendelu.cz/marik/akademie/index.html#graf1Nakreslete graf funkce \(\displaystyle y=x^3-2x^2\).
zobrazit/skrýthttp://user.mendelu.cz/marik/akademie/index.html#graf1Nakreslete graf funkce \(\displaystyle y=x^3-2x^2\).
¶Stálý odkaz na toto místo:
http://user.mendelu.cz/marik/akademie/index.html#graf2Nakreslete graf funkce \(\displaystyle y=x^2 e^{-x}\) na intervalu \(\displaystyle [-2,7]\).
Omezte vhodně rozsah na ose \(\displaystyle y\).
zobrazit/skrýthttp://user.mendelu.cz/marik/akademie/index.html#graf2Nakreslete graf funkce \(\displaystyle y=x^2 e^{-x}\) na intervalu \(\displaystyle [-2,7]\).
Omezte vhodně rozsah na ose \(\displaystyle y\).
¶Stálý odkaz na toto místo:
http://user.mendelu.cz/marik/akademie/index.html#graf3Nakreslete grafy funkcí \(\displaystyle y=x^2\) a \(\displaystyle y=2x+1\) do jednoho obrázku.
zobrazit/skrýthttp://user.mendelu.cz/marik/akademie/index.html#graf3Nakreslete grafy funkcí \(\displaystyle y=x^2\) a \(\displaystyle y=2x+1\) do jednoho obrázku.
Funkce dvou proměnných¶Stálý odkaz na toto místo:
http://user.mendelu.cz/marik/akademie/index.html#funkce-dvou-promennych (přepnout na samostatnou stránku)
Nakreslete graf funkce dvou proměnných \(\displaystyle z=x^2-y^2\) na množině \(\displaystyle [-1,1]\times[-1,1]\).
zobrazit/skrýtNakreslete vrstevnice funkce \(\displaystyle z=\sqrt{x^2+y^2}+0.3 \sin(xy)\).
zobrazit/skrýtVypočtěte parciální derivaci funkce \(\displaystyle z=yx\sin(x+y^2)\) podle \(\displaystyle y\).
zobrazit/skrýtVypočtěte parciální derivaci \(\displaystyle \frac{\partial ^5 z}{(\partial x)^3 (\partial y)^2}\) funkce \(\displaystyle z=yx\sin(x+y^2)\).
zobrazit/skrýtUrčete stacionární body funkce \(\displaystyle z=x^2y^2-x^2-y^2\)
zobrazit/skrýtUrčete lokální extrémy funkce \(\displaystyle z=x^2y^2-x^2-y^2\)
zobrazit/skrýtLineární algebra¶Stálý odkaz na toto místo:
http://user.mendelu.cz/marik/akademie/index.html#linearni-algebra (přepnout na samostatnou stránku)
Určete hodnost matice \(\displaystyle \begin{pmatrix} 9&3&5\\-6&-9&7\\-1&-8&1\end{pmatrix}\).
zobrazit/skrýtUrčete determinant \(\displaystyle \begin{vmatrix} 9&3&5\\-6&-9&7\\-1&-8&1\end{vmatrix}\).
zobrazit/skrýtVypočtěte řešení soustavy rovnic \(\displaystyle \begin{cases}
x_1+3x_2+4x_3=1,\\ x_1-x_3=9, \\ x_1+x_3=8.\end{cases}\)
zobrazit/skrýt¶Stálý odkaz na toto místo:
http://user.mendelu.cz/marik/akademie/index.html#soustava_maticoveOvěřte na konkrétním příkladě ekvivalentní zápis soustavy rovnic pomocí maticového součinu a řešení pomocí inverzní matice.
zobrazit/skrýthttp://user.mendelu.cz/marik/akademie/index.html#soustava_maticoveOvěřte na konkrétním příkladě ekvivalentní zápis soustavy rovnic pomocí maticového součinu a řešení pomocí inverzní matice.
