Nakreslete směrové pole rovnice \(\displaystyle y'=x+y^2\). 0S0</span

Sage 
x,y = var('x y')
plot_slope_field(x+y^2, (x,-3,3), (y,-3,3))
spustit

Nakreslete směrové pole rovnice \(\displaystyle y'=y(3-y)\) a grafy řešení odpovídající počátečním podmínkám \(\displaystyle y(0)=1\) a \(\displaystyle y(0)=0.1\). 0S0</span

Sage 
f(x,y)=y*(3-y)
ics1=[0,0.1]
ics2=[0,1]

P2=desolve_rk4(f(x,y),y,ics=ics1,ivar=x,end_points=[0,3],output='slope_field')
P1=desolve_rk4(f(x,y),y,ics=ics2,ivar=x,end_points=[0,3],output='plot')

(P1+P2).show(ymax=3,ymin=0)
spustit

Vyřešte diferenciální rovnici \(\displaystyle y'=\frac yx+1\). MSMAWW</span

Wolfram Alpha
Mathematical Assistant on Web - spustit
Sage 
y=function('y',x)
rovnice = diff(y,x) == y/x + 1
# řešení
desolve(rovnice, y).show()
# řešení v roznásobeném tvaru
desolve(rovnice, y).expand().show()
spustit
Maxima
rovnice : 'diff(y,x) = y/x + 1;
ode2(rovnice, y, x);
expand(ode2(rovnice, y, x));
spustit online, spustit online, zobrazit offline

Vyřešte diferenciální rovnici \(\displaystyle y'=\frac yx+1\) s počáteční podmínkou \(\displaystyle y(1)=-3\) MS0W</span

Wolfram Alpha
Sage 
y=function('y',x)
rovnice = diff(y,x) == y/x + 1
podminka = [1,-3]

# řešení
reseni=desolve(rovnice, y, ics=podminka)
reseni.show()
spustit
Maxima
rovnice : 'diff(y,x) = y/x + 1;
reseni : ode2(rovnice, y, x);
ic1(reseni, x=1, y=-3);
spustit online, spustit online, zobrazit offline

Vyřešte diferenciální rovnici \(\displaystyle y''+3y'+2y=x\). MSMAWW</span

Wolfram Alpha
Mathematical Assistant on Web - spustit
Sage 
y = function('y',x)
rovnice = diff(y,x,2) + 3*diff(y,x) + 2*y == x
desolve(rovnice, y).show()
spustit
Maxima
rovnice : 'diff(y,x,2) + 3*'diff(y,x) + 2*y = x;
ode2(rovnice, y, x);
spustit online, spustit online, zobrazit offline

Vyřešte diferenciální rovnici \(\displaystyle y''+3y'+2y=x\) s počáteční podmínkou \(\displaystyle y(0)=0\), \(\displaystyle y'(0)=3\). MSMAWW</span

Wolfram Alpha
Mathematical Assistant on Web - spustit
Sage 
y = function('y',x)
rovnice = diff(y,x,2) + 3*diff(y,x) + 2*y == x
podminka = [0,0,3]
desolve(rovnice, y, ics=podminka).show()
spustit
Maxima
rovnice : 'diff(y,x,2) + 3*'diff(y,x) + 2*y = x;
reseni : ode2(rovnice, y, x);
ic2(reseni, x=0, y=0, 'diff(y,x)=3);
spustit online, spustit online, zobrazit offline

Najděte stacionární body autonomního systému \(\displaystyle \left\{\begin{aligned}x'&=x + 2 \, y\\y'&={\left(y + 2\right)} {\left(x + 1\right)} y\end{aligned}\right.\).
V každém ze stacionárních bodů najděte vlastní čísla Jakobiho matice. 0S0</span

Sage
# ---> sbalit <--- 
x,y=var('x,y') # definice promennych

## prave strany autonomniho systemu
f, g = x+2*y, y*(y+2)*(x+1)

#################################################################
# dál už nic nemusíte číst ani upravovat, jenom spusťte výpočet #
#################################################################

def as_tabulka(de_x,de_y):
    # Tisk zadani pro kontrolu
    html(r"Autonomní systém $\left\{\begin{aligned}x'&=%s\\y'&=%s\end{aligned}\right.$." %(latex(de_x),latex(de_y)))

    # nalezeni stacionarnich bodu a jakobianu
    stacionarni_body=solve([de_x,de_y], [x,y], solution_dict=True)
    jacobiho_matice=jacobian((de_x,de_y),(x,y))

    A=[["Stacionární bod","Jacobiho matice","Vlastní hodnoty"]]

    # cyklus pres vsechny stacionarni body
    for s in stacionarni_body:
        # budeme pracovat pouze s resenimi, ktera jsou realna cisla,
        # tj ktera maji nulou imaginarni cast
        if s[x].imag() == 0 and s[y].imag() == 0:
            A.append([[s[x],s[y]], jacobiho_matice(s),\
            [a.real().n(20)+I*a.imag().n(20) for a in jacobiho_matice(s).eigenvalues()]])

    # vytiskneme tabulku
    html.table(A,header=True)

as_tabulka(f,g)
# <---- rozbalit ---> # kód je příliš dlouhý # zobrazí se po rozbalení, # nebo na stránce, na kterou vedou odkazy pro spuštění
spustit