Využití systémů počítačové algebry (CAS) v matematice

Napište desetiným číslem přibližnou hodnotu $\displaystyle \pi$.

%pi,numer;

float(%pi);

Roznásobte závorky ve výrazu $\displaystyle x(x-1)(x+3)^2$.

expand(x*(x-1)*(x+3)^2);

Rozložte na součin výraz $\displaystyle x^4+5x^3+3x^2-9x$.

factor(x^4+5*x^3+3*x^2-9*x);

Vyřešte rovnici $\displaystyle 2e^{x^2-1}=3$.

solve(2*%e^(x^2-1) = 3, x);

Vyřešte rovnici $\displaystyle 2e^{x^2-1}=3$.

Řešíme přibližně desetinným číslem.

reseni:solve(2*%e^(x^2-1) = 3, x);
float(reseni);

Derivujte funkci $\displaystyle y=x^2 \sin(x)$.

diff(x^2*sin(x),x);

Derivujte funkci $\displaystyle y=\ln \sqrt\frac{x-1}{x+1}$ a derivaci upravte.

vyraz : log(sqrt((x-1)/(x+1)));
derivace : diff(vyraz, x);
radcan(derivace);

Vypočtěte druhou derivaci funkce $\displaystyle y=\frac{x^3}{(x+1)^2}$.

Navíc derivaci upravíme rozkladem na součin.

factor(diff(x^3/(x+1)^2,x,2));

Určete Taylorův polynom stupně $\displaystyle 7$ pro funkci
$\displaystyle y=\ln\frac{1+x}{1-x}$ se středem v bodě $\displaystyle 0$.

taylor(log((1+x)/(1-x)), x, 0, 7);

/* varianta s grafem funkce */
f:log((1+x)/(1-x));
n:7;
vysledek:taylor(f, x, 0, n);
plot2d([vysledek,f],[x,-0.9,0.9]);

Vypočtěte stacionární body funkce $\displaystyle y=\frac{x^2}{x-1}$.

derivace:diff(x^2/(x-1),x);
solve(derivace,x);

Vypočtěte integrál $\displaystyle \int x^2 \sin x\,\mathrm{d}x$.

integrate (x^2*sin(x),x);

Vypočtěte integrál $\displaystyle \int_1^{e} \sqrt x\ln(x)\,\mathrm{d}x$.

integrate (x^(1/2)*log(x),x,1,%e);

Vypočtěte obsah množiny mezi křivkami $\displaystyle y=1-x^2$ a $\displaystyle y=(1-x)^2$ na intervalu $\displaystyle [0,1]$.

f:1-x^2;
g:(1-x)^2;
vysledek:integrate(f-g,x,0,1);

Vypočtěte obsah množiny mezi křivkami $\displaystyle y=x^2$ a $\displaystyle y=5-2x$.

f:x^2;
g:5-2*x;
/* reseni rovnice a nalezeni dolni a horni meze pro integraci */
reseni:solve(f=g,x);
a:lmin(map(lambda ([x],rhs(x)),reseni));
b:lmax(map(lambda ([x],rhs(x)),reseni));
/* integrace a jeji numericka aproximace */
vysledek:radcan(integrate(g-f,x,a,b));
vysledek,numer;
/* graf */
plot2d([f,g],[x,a,b]);

Vypočtěte dvojný integrál $\displaystyle \iint_M (x^3+1)y\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y$ na množině $\displaystyle M=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2: 0\leq x\leq 1, 0\leq y\leq x\}$.

integrate(integrate((x^3+1)*y,y,0,x),x,0,1);

Vypočtěte dvojný integrál $\displaystyle \iint_M x^3\, \mathrm{d}x\mathrm{d}y$ na množině $\displaystyle M=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2: 0\leq x\leq 1, 1-x\leq y\leq 1-x^2\}$.

integrate(integrate(x^3,y,1-x,1-x^2),x,0,1);

Vyřešte diferenciální rovnici $\displaystyle y'=\frac yx+1$.

rovnice : 'diff(y,x) = y/x + 1;
ode2(rovnice, y, x);
expand(ode2(rovnice, y, x));

Vyřešte diferenciální rovnici $\displaystyle y'=\frac yx+1$ s počáteční podmínkou $\displaystyle y(1)=-3$

rovnice : 'diff(y,x) = y/x + 1;
reseni : ode2(rovnice, y, x);
ic1(reseni, x=1, y=-3);

Vyřešte diferenciální rovnici $\displaystyle y''+3y'+2y=x$.

rovnice : 'diff(y,x,2) + 3*'diff(y,x) + 2*y = x;
ode2(rovnice, y, x);

Vyřešte diferenciální rovnici $\displaystyle y''+3y'+2y=x$ s počáteční podmínkou $\displaystyle y(0)=0$, $\displaystyle y'(0)=3$.

rovnice : 'diff(y,x,2) + 3*'diff(y,x) + 2*y = x;
reseni : ode2(rovnice, y, x);
ic2(reseni, x=0, y=0, 'diff(y,x)=3);

Nakreslete graf funkce $\displaystyle y=x^3-2x^2$.

plot2d(x^3-2*x^2,[x,-3,3]);

Nakreslete graf funkce $\displaystyle y=x^2 e^{-x}$ na intervalu $\displaystyle [-2,7]$.
Omezte vhodně rozsah na ose $\displaystyle y$.

plot2d(x^2*exp(-x),[x,-2,7],[y,0,2]);

Nakreslete grafy funkcí $\displaystyle y=x^2$ a $\displaystyle y=2x+1$ do jednoho obrázku.

plot2d([x^2,2*x+1],[x,-3,3]);

Nakreslete graf parametrické rovinné křivky $\displaystyle x=\cos(t)$, $\displaystyle y=\sin (t)$ pro $\displaystyle t\in[0,\pi]$

plot2d ([parametric, cos(t), sin(t), [t, 0, %pi]] );

Nakreslete graf parametrické prostorové křivky $\displaystyle x=\cos(t)$, $\displaystyle y=\sin (t)$, $\displaystyle z=t$ pro $\displaystyle t\in[0,4\pi]$

spiral : parametric (  cos(t), sin(t), t,   t, 0, 4*%pi  ) ;
draw3d (nticks=100, spiral);

Nakreslete graf funkce dvou proměnných $\displaystyle z=x^2-y^2$ na množině $\displaystyle [-1,1]\times[-1,1]$.

plot3d(x^2-y^2, [x,-1,1], [y,-1,1]);

Nakreslete graf funkce dvou proměnných $\displaystyle z=x^2-y^2$ na množině $\displaystyle [-1,1]\times[-1,1]$.

plot3d(x^2-y^2, [x,-1,1], [y,-1,1]);

Vypočtěte parciální derivaci funkce $\displaystyle z=yx\sin(x+y^2)$ podle $\displaystyle y$.

diff(y*x*sin(x+y^2), y);

Vypočtěte parciální derivaci $\displaystyle \frac{\partial ^5 z}{(\partial x)^3 (\partial y)^2}$ funkce $\displaystyle z=yx\sin(x+y^2)$.

diff(y*x*sin(x+y^2), x, 3, y, 2);

Určete stacionární body funkce $\displaystyle z=x^2y^2-x^2-y^2$

f:x^2*y^2-x^2-y^2;
solve([diff(f,x),diff(f,y)],[x,y]);

Určete hodnost matice $\displaystyle \begin{pmatrix} 9&3&5\\-6&-9&7\\-1&-8&1\end{pmatrix}$.

A:matrix([9, 3, 5], [-6, -9, 7], [-1, -8, 1]);
rank(A);

Určete determinant $\displaystyle \begin{vmatrix} 9&3&5\\-6&-9&7\\-1&-8&1\end{vmatrix}$.

A:matrix([9, 3, 5], [-6, -9, 7], [-1, -8, 1]);
determinant(A);

Vypočtěte řešení soustavy rovnic $\displaystyle \begin{cases} x_1+3x_2+4x_3=1,\\ x_1-x_3=9, \\ x_1+x_3=8.\end{cases}$

soustava:[x1+3*x2+4*x3=1, x1-x3=9, x1+x3=8];
reseni:solve (soustava,[x1,x2,x3]);

Napište desetiným číslem přibližnou hodnotu $\displaystyle \pi$.

pi.n()

n(pi)

float(pi)

Roznásobte závorky ve výrazu $\displaystyle x(x-1)(x+3)^2$.

expand(x*(x-1)*(x+3)^2).show()

vyraz = x*(x-1)*(x+3)^2
# zobrazeni zadani (pro kontrolu)
vyraz.show()
# vypocet
vyraz.expand().show()

Rozložte na součin výraz $\displaystyle x^4+5x^3+3x^2-9x$.

factor(x^4+5*x^3+3*x^2-9*x).show()

Vyřešte rovnici $\displaystyle 2e^{x^2-1}=3$.

show(solve(2*e^(x^2-1) == 3, x))

rovnice = 2*e^(x^2-1) == 3
reseni = rovnice.solve(x)
show(rovnice)
show(reseni)

Vyřešte rovnici $\displaystyle 2e^{x^2-1}=3$.

Řešíme přibližně desetinným číslem.

reseni=solve(2*e^(x^2-1) == 3, x)
show(reseni)
# s každou položkou seznamu řešení provedeme následující:
# levou stranu rovnice necháme, pravou aproximujeme funkcí n()
vysl=map(lambda x: x.lhs()==x.rhs().n(), reseni)
show(vysl)

Derivujte funkci $\displaystyle y=x^2 \sin(x)$.

diff(x^2*sin(x),x).show()

vyraz = x^2*sin(x)
# tisk výrazu (pro kontrolu)
vyraz.show()
# derivace podle x
# je možno psát i derivace = diff(vyraz, x)
derivace = vyraz.diff(x)
# zobrazení výsledku
derivace.show()

Derivujte funkci $\displaystyle y=\ln \sqrt\frac{x-1}{x+1}$ a derivaci upravte.

vyraz = log(sqrt((x-1)/(x+1)))
# pro derivaci podle x můžeme psát
#   vyraz.derivace(x)
# nebo
#   diff(vyraz, x)
derivace = vyraz.diff(x)
vyraz.show()
derivace.factor().show()

derivace=diff(log(sqrt((x-1)/(x+1))),x)
derivace.simplify_full().show()

Vypočtěte druhou derivaci funkce $\displaystyle y=\frac{x^3}{(x+1)^2}$.

Navíc derivaci upravíme rozkladem na součin.

# bez úpravy
diff(x^3/(x+1)^2,x,2).show()
# s úpravou
diff(x^3/(x+1)^2,x,2).factor().show()

Určete Taylorův polynom stupně $\displaystyle 7$ pro funkci
$\displaystyle y=\ln\frac{1+x}{1-x}$ se středem v bodě $\displaystyle 0$.

taylor(log((1+x)/(1-x)), x, 0, 7).show()

# varianta s grafem funkce a polynomu - vstupní data
f(x)=log((1+x)/(1-x))           # funkce
n=7                             # stupeň
# příkazy pro zpracování
vysledek=taylor(f(x), x, 0, n)  # výpočet Taylorova polynomu
html("Taylorův polynom")        # nadpis
vysledek.show()                 # zobrazení výsledku
html("Grafy (funkce modře, polynom červeně)")  # nadpis
P1=plot(vysledek,x,-0.85,0.85,rgbcolor='red')  # graf Taylorova polynomu
P2=plot(f(x),x,-0.85,0.85)                     # graf funkce
P1+P2                                          # zobrazení obou grafů

Vypočtěte stacionární body funkce $\displaystyle y=\frac{x^2}{x-1}$.

derivace=diff(x^2/(x-1),x)
show(solve(derivace,x))

Vyšetřete průběh funkce $\displaystyle y=x^2(x-1)$.

# zadaná funkce, funkci můžete změnit
f = x^2*(x-1)

# můžete zadat meze na ose x
xmin, xmax = -1, 1.5

# meze na ose y můžete nechat automatické (None), nebo zadat (místo None napište číslo)
ymin, ymax = None, None

#################################################################
# dál už nic nemusíte číst ani upravovat, jenom spusťte výpočet #
#################################################################

def prubeh(f,(x,xmin,xmax),ymin=None, ymax=None):
    r"""
    Procedura nakresli graf funkce f na intervalu xmax, xmin, vypocte nulove, stacionarni a
    kriticke body.
    
    Je mozno zadat nepovinne parametry ymin a ymax pro rozsah hodnot na svisle ose.
    """
    P = plot(f,(x,xmin,xmax),detect_poles=True)
    tab=[[r"<h3>Funkce", r"$\displaystyle  y=%s$</h3>"%latex(f)]]
    tab.append([r"1. derivace", r"$\displaystyle  y'=%s$"%latex(factor(diff(f,x)))])
    tab.append([r"2. derivace", r"$\displaystyle  y'=%s$"%latex(factor(diff(f,x,2)))])
    _temp = solve(f,x, solution_dict=True, explicit_solutions=True)
    _nulove_body = [i[x] for i in _temp if i[x].imag().n() == 0]
    _temp = solve(diff(f,x),x, solution_dict=True, explicit_solutions=True)
    _stac_body = [i[x] for i in _temp if i[x].imag().n() == 0]
    _temp = solve(diff(f,x,2),x, solution_dict=True, explicit_solutions=True)
    _krit_body = [i[x] for i in _temp if i[x].imag().n() == 0]
    if len(_stac_body)>0:
        P += point2d([(i,f(x=i)) for i in _stac_body], color='red', size=30, zorder=8)
    if len(_krit_body)>0:
        P += point2d([(i,f(x=i)) for i in _krit_body], color='black', size=15, zorder=9)
        
    tab.append([r"Nulové body", r"$\displaystyle %s$"%latex(tisk_bodu(_nulove_body))])
    tab.append([r"Stacionární body", r"$\displaystyle %s$ (v grafu červeně)"%latex(tisk_bodu(_stac_body))])
    tab.append([r"Kritické body", r"$\displaystyle %s$ (v grafu černě)"%latex(tisk_bodu(_krit_body))])
    html.table(tab)
    if P.ymax()>300 and ymax is None:
        ymax = 20
    if P.ymin()<-300 and ymin is None:
        ymin = -20
    show(P,ymax=ymax,ymin=ymin)


def tisk_bodu(a):
    if len(a)==1:
        return [x==a[0]]
    else:
        return [x==i for i in a]

prubeh(f,(x,xmin,xmax),ymin=ymin,ymax=ymax)

Vypočtěte integrál $\displaystyle \int x^2 \sin x\,\mathrm{d}x$.

integrate (x^2*sin(x),x).show()

funkce = x^2*sin(x)
# zobrazení funkce pro kontrolu
funkce.show()
# výsledek integrace podle x
funkce.integrate (x).show()
# je možné psát i
# integrate(funkce,x)

Vypočtěte integrál $\displaystyle \int_1^{e} \sqrt x\ln(x)\,\mathrm{d}x$.

integrate (x^(1/2)*log(x),(x,1,e)).show()

Vypočtěte obsah množiny mezi křivkami $\displaystyle y=1-x^2$ a $\displaystyle y=(1-x)^2$ na intervalu $\displaystyle [0,1]$.

f(x)=1-x^2
g(x)=(1-x)^2;
vysledek=integrate(f-g,x,0,1)
vysledek.show()

Vypočtěte obsah množiny mezi křivkami $\displaystyle y=x^2$ a $\displaystyle y=5-2x$.

f(x)=x^2
g(x)=5-2*x;
# hledani pruseciku
reseni=solve(f==g,x);
a=min(map(lambda x: x.rhs(),reseni))
b=max(map(lambda x: x.rhs(),reseni))
# vypocet integralu a obrazek
vysledek=integrate(g-f,x,a,b)
vysledek.show()
plot((f,g),x,a,b)

Vypočtěte dvojný integrál $\displaystyle \iint_M (x^3+1)y\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y$ na množině $\displaystyle M=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2: 0\leq x\leq 1, 0\leq y\leq x\}$.

x,y=var('x,y')
show(integrate(integrate((x^3+1)*y,y,0,x),x,0,1))

Vypočtěte dvojný integrál $\displaystyle \iint_M x^3\, \mathrm{d}x\mathrm{d}y$ na množině $\displaystyle M=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2: 0\leq x\leq 1, 1-x\leq y\leq 1-x^2\}$.

x,y=var('x,y')
html("Výsledek")
show(integrate(integrate(x^3,y,1-x,1-x^2),x,0,1))
html("Náhled množiny $M$")
region_plot([0 < x, x < 1, 1-x < y, y < 1-x^2], (x,0,1.2), (y,0,1.2)).show(aspect_ratio=1,figsize=5)

Vypočtěte křivkový integrál prvního druhu $\displaystyle \int_C f\mathrm{d}s$ funkce $\displaystyle f(x,y)=x$ po křivce $\displaystyle C$, kterou tvoří kladně orientovaná hranice trojúhelníku s vrcholy $\displaystyle [0,0]$, $\displaystyle [2,0]$ a [0,1].

# Vypocet krivkoveho integralu prvniho druhu
var('x y t')

################### zadani (je mozno upravit a dosadit vlastni zadani)

# integrovana funce
f = x

# krivka, muze mit libovolny pocet komponent tvaru ( x(t), y(t), tmin, tmax, volitelne barva )
krivka=[(t,0,0,2), (0,t,0,1,'green'), (2*t, 1-t, 0, 1, 'red')]

# Prepinac symbolicky/numericky. Pro numericky vypocet 'numericky=True'
numericky=False

#################### vlastni vypocet
html(r'$ f(x,y)=%s $' %(latex(f)) )
show(krivka)


def krivkovy_integral (f, k0, k1, a, b, numericky):
    if numericky:
        vysledek = numerical_integral (f.subs(x=k0, y=k1)*sqrt((diff(k0,t))^2+(diff(k1,t))^2),a,b)[0]
    else:
        vysledek = integral (f.subs(x=k0, y=k1)*sqrt((diff(k0,t))^2+(diff(k1,t))^2),t,a,b)
    return (vysledek)

PL=Graphics()
vysledek=0

for krivka_ in krivka:
    if len(krivka_)>4:
        barva=krivka_[4]
    else:
        barva='blue'
    PL=PL+parametric_plot((krivka_[0],krivka_[1]),(t,krivka_[2],krivka_[3]), thickness=5, color=barva)
    vysledek=vysledek+krivkovy_integral(f,krivka_[0],krivka_[1],krivka_[2],krivka_[3], numericky)

html(r'$\displaystyle\int_C f(x,y)\mathrm{d}s=%s $'% latex(vysledek) )

PL.show(aspect_ratio=1)

Vypočtěte křivkový integrál druhého druhu $\displaystyle \int_C \vec F\mathrm{d}\vec r$ funkce $\displaystyle \vec F=(e^x-7y, \frac 13 x^3+xy^2)$ po křivce $\displaystyle C$, kterou tvoří kladně orientovaná hranice čtvrtkruhu, který je průnikem kruhu se středem v počátku a o poloměru $\displaystyle 2$ s množinou $\displaystyle y\geq |x|$.

# Vypocet krivkoveho integralu druheho druhu
var('x y t')

################### zadani (je mozno upravit a dosadit vlastni zadani)

# komponenty vektoroveho pole
P, Q = exp(x)-7*y, x^3/3+x*y^2

# krivka, muze mit libovolny pocet komponent tvaru ( x(t), y(t), tmin, tmax )
krivka=[(t,abs(t),-sqrt(2),sqrt(2)),(2*cos(t), 2*sin(t), pi/4, 3*pi/4, 'red')]

# Prepinac symbolicky/numericky. Pro numericky vypocet 'numericky=True'
numericky=False

#################### vlastni vypocet
html(r'$ \vec F=(P,Q)=(%s,%s) $' %(latex(P),latex (Q)) )
show(krivka)


def krivkovy_integral (P, Q, k0, k1,a, b, numericky):
    if numericky:
        vysledek = numerical_integral (P.subs(x=k0, y=k1)*diff(k0,t)+Q.subs(x=k0, y=k1)*diff(k1,t),a,b)[0]
    else:
        vysledek = integral (P.subs(x=k0, y=k1)*diff(k0,t)+Q.subs(x=k0, y=k1)*diff(k1,t),t,a,b)
    return (vysledek)

PL=Graphics()
vysledek=0

small=0.001
for krivka_ in krivka:
    if len(krivka_)>4:
        barva=krivka_[4]
    else:
        barva='blue'
    PL=PL+parametric_plot((krivka_[0],krivka_[1]),(t,krivka_[2],krivka_[3]), thickness=5, color=barva)
    PL=PL+arrow((krivka_[0](t=krivka_[3]-small), krivka_[1](t=krivka_[3]-small)),\
        (krivka_[0](t=krivka_[3]), krivka_[1](t=krivka_[3])), color=barva, arrowsize=10 )
    vysledek=vysledek+krivkovy_integral(P,Q,krivka_[0],krivka_[1],krivka_[2],krivka_[3],numericky)

PL=PL+plot_vector_field((P,Q), (x,PL.xmin(),PL.xmax()), (y,PL.ymin(),PL.ymax()))
vysledek = SR(vysledek).full_simplify()

html(r'$\displaystyle\int_C \vec F\mathrm{d}\vec r=%s $'% latex(vysledek))

PL.show(aspect_ratio=1)

Nakreslete směrové pole rovnice $\displaystyle y'=x+y^2$.

x,y = var('x y')
plot_slope_field(x+y^2, (x,-3,3), (y,-3,3))

Nakreslete směrové pole rovnice $\displaystyle y'=y(3-y)$ a grafy řešení odpovídající počátečním podmínkám $\displaystyle y(0)=1$ a $\displaystyle y(0)=0.1$.

f(x,y)=y*(3-y)
ics1=[0,0.1]
ics2=[0,1]

P2=desolve_rk4(f(x,y),y,ics=ics1,ivar=x,end_points=[0,3],output='slope_field')
P1=desolve_rk4(f(x,y),y,ics=ics2,ivar=x,end_points=[0,3],output='plot')

(P1+P2).show(ymax=3,ymin=0)

Vyřešte diferenciální rovnici $\displaystyle y'=\frac yx+1$.

y=function('y',x)
rovnice = diff(y,x) == y/x + 1
# řešení
desolve(rovnice, y).show()
# řešení v roznásobeném tvaru
desolve(rovnice, y).expand().show()

Vyřešte diferenciální rovnici $\displaystyle y'=\frac yx+1$ s počáteční podmínkou $\displaystyle y(1)=-3$

y=function('y',x)
rovnice = diff(y,x) == y/x + 1
podminka = [1,-3]

# řešení
reseni=desolve(rovnice, y, ics=podminka)
reseni.show()

Vyřešte diferenciální rovnici $\displaystyle y''+3y'+2y=x$.

y = function('y',x)
rovnice = diff(y,x,2) + 3*diff(y,x) + 2*y == x
desolve(rovnice, y).show()

Vyřešte diferenciální rovnici $\displaystyle y''+3y'+2y=x$ s počáteční podmínkou $\displaystyle y(0)=0$, $\displaystyle y'(0)=3$.

y = function('y',x)
rovnice = diff(y,x,2) + 3*diff(y,x) + 2*y == x
podminka = [0,0,3]
desolve(rovnice, y, ics=podminka).show()

Najděte stacionární body autonomního systému $\displaystyle \left\{\begin{aligned}x'&=x + 2 \, y\\y'&={\left(y + 2\right)} {\left(x + 1\right)} y\end{aligned}\right.$.
V každém ze stacionárních bodů najděte vlastní čísla Jakobiho matice.

x,y=var('x,y') # definice promennych

## prave strany autonomniho systemu
f, g = x+2*y, y*(y+2)*(x+1)

#################################################################
# dál už nic nemusíte číst ani upravovat, jenom spusťte výpočet #
#################################################################

def as_tabulka(de_x,de_y):
    # Tisk zadani pro kontrolu
    html(r"Autonomní systém $\left\{\begin{aligned}x'&=%s\\y'&=%s\end{aligned}\right.$." %(latex(de_x),latex(de_y)))

    # nalezeni stacionarnich bodu a jakobianu
    stacionarni_body=solve([de_x,de_y], [x,y], solution_dict=True)
    jacobiho_matice=jacobian((de_x,de_y),(x,y))

    A=[["Stacionární bod","Jacobiho matice","Vlastní hodnoty"]]

    # cyklus pres vsechny stacionarni body
    for s in stacionarni_body:
        # budeme pracovat pouze s resenimi, ktera jsou realna cisla,
        # tj ktera maji nulou imaginarni cast
        if s[x].imag() == 0 and s[y].imag() == 0:
            A.append([[s[x],s[y]], jacobiho_matice(s),\
            [a.real().n(20)+I*a.imag().n(20) for a in jacobiho_matice(s).eigenvalues()]])

    # vytiskneme tabulku
    html.table(A,header=True)

as_tabulka(f,g)

Nakreslete graf funkce $\displaystyle y=x^3-2x^2$.

plot(x^3-2*x^2,(x,-3,3))

f(x) = x^3-2*x^2
# zobrazeni funkce pro kontrolu
show(f(x))
# nakresleni grafu
plot(f(x),(x,-3,3))

Nakreslete graf funkce $\displaystyle y=x^2 e^{-x}$ na intervalu $\displaystyle [-2,7]$.
Omezte vhodně rozsah na ose $\displaystyle y$.

plot(x^2*exp(-x),(x,-2,7),ymax=2)

Nakreslete grafy funkcí $\displaystyle y=x^2$ a $\displaystyle y=2x+1$ do jednoho obrázku.

plot([x^2,2*x+1],(x,-3,3))

# verze s barevným odlišením a se zobrazením prusečíku funkcí
f(x) = x^2
g(x) = 2*x+1
OBR = plot(f,(x,-3,3))
OBR = OBR+plot(g,(x,-3,3),color='red')
pruseciky = solve(f(x)==g(x), x, solution_dict=1, explicit_solutions=1)
for i in pruseciky:
    OBR = OBR + point([i[x],f(i[x])], rgbcolor='black',zorder=3, size=25)
OBR

Nakreslete graf parametrické rovinné křivky $\displaystyle x=\cos(t)$, $\displaystyle y=\sin (t)$ pro $\displaystyle t\in[0,\pi]$

# Parametricky zadana krivka

t=var('t')
parametric_plot([cos(t), sin(t)], (0,pi))

Nakreslete graf parametrické prostorové křivky $\displaystyle x=\cos(t)$, $\displaystyle y=\sin (t)$, $\displaystyle z=t$ pro $\displaystyle t\in[0,4\pi]$

# Parametricky zadana krivka

t=var('t')
parametric_plot3d([cos(t), sin(t), t], (0,4*pi))

Nakreslete graf funkce dvou proměnných $\displaystyle z=x^2-y^2$ na množině $\displaystyle [-1,1]\times[-1,1]$.

# graf je možno otáčet a přibližovat myší
y=var('y')
plot3d(x^2-y^2, (x,-1,1), (y,-1,1))

Nakreslete vrstevnice funkce $\displaystyle z=\sqrt{x^2+y^2}+0.3 \sin(xy)$.

# Krátká verze
x,y = var('x,y')
contour_plot( sqrt(x^2+y^2)+0.3*sin(x*y) , (x,-4,4) , (y,-4,4))

# Rozšířená verze
x,y = var('x,y')

# Nastavení funkce, mezí a parametrů pro kreslení
f(x,y)=sqrt(x^2+y^2)+0.3*sin(x*y)
x_meze = (x,-4,4)
y_meze = (y,-4,4)
pocet_vrstevnic = 30
pocet_bodu = 200

# Příkaz pro tisk zadání a vykreslení vrstevnic(nemusíte většinou už upravovat)
show(f(x,y))
contour_plot(f, x_meze , y_meze,plot_points=pocet_bodu,cmap='gnuplot_r',labels=1,colorbar=1,fill=0,contours=pocet_vrstevnic)

Nakreslete 2D vektorové pole $\displaystyle \vec F(x,y)=(-y, x)$.

x,y,z=var('x y z')
plot_vector_field((-y,x), (x,-1,1), (y,-1,1))

Nakreslete 3D vektorové pole $\displaystyle \vec F(x,y,z)=(x\cos(z), -y\cos(z), \sin(z))$.

x,y,z=var('x y z')
plot_vector_field3d((x*cos(z),-y*cos(z),sin(z)), (x,0,pi), (y,0,pi), (z,0,pi))

Nakreslete vrstevnice a gradient funkce $\displaystyle f(x,y)=x^2y-xy^3$.

f(x,y)=x^2*y-x*y^3
mezex=(x,1,4)
mezey=(y,-1,2)
hladiny=[i/2 for i in range (-7,20,1)]
html("<h2>Vrstevnice a gradient funkce $ f(x,y)= %s $</h2>"% latex(f(x,y)))

P=contour_plot(f,mezex,mezey, labels=True, contours=hladiny, cmap='jet', colorbar=True)
P=P+plot_vector_field(f.gradient()/norm(f.gradient()), mezex, mezey)

show(P, figsize=10)

Nakreslete graf funkce dvou proměnných $\displaystyle z=x^2-y^2$ na množině $\displaystyle [-1,1]\times[-1,1]$.

# graf je možno otáčet a přibližovat myší
y=var('y')
plot3d(x^2-y^2, (x,-1,1), (y,-1,1))

Nakreslete vrstevnice funkce $\displaystyle z=\sqrt{x^2+y^2}+0.3 \sin(xy)$.

# Krátká verze
x,y = var('x,y')
contour_plot( sqrt(x^2+y^2)+0.3*sin(x*y) , (x,-4,4) , (y,-4,4))

# Rozšířená verze
x,y = var('x,y')

# Nastavení funkce, mezí a parametrů pro kreslení
f(x,y)=sqrt(x^2+y^2)+0.3*sin(x*y)
x_meze = (x,-4,4)
y_meze = (y,-4,4)
pocet_vrstevnic = 30
pocet_bodu = 200

# Příkaz pro tisk zadání a vykreslení vrstevnic(nemusíte většinou už upravovat)
show(f(x,y))
contour_plot(f, x_meze , y_meze,plot_points=pocet_bodu,cmap='gnuplot_r',labels=1,colorbar=1,fill=0,contours=pocet_vrstevnic)

Vypočtěte parciální derivaci funkce $\displaystyle z=yx\sin(x+y^2)$ podle $\displaystyle y$.

x,y=var('x,y')
diff(y*x*sin(x+y^2), y).show()

Vypočtěte parciální derivaci $\displaystyle \frac{\partial ^5 z}{(\partial x)^3 (\partial y)^2}$ funkce $\displaystyle z=yx\sin(x+y^2)$.

x,y=var('x,y')
diff(y*x*sin(x+y^2), x, 3, y, 2).show()

Určete stacionární body funkce $\displaystyle z=x^2y^2-x^2-y^2$

var('x y')
f=x^2*y^2-x^2-y^2
show(f)
show(solve([diff(f,x),diff(f,y)],[x,y]))

Určete lokální extrémy funkce $\displaystyle z=x^2y^2-x^2-y^2$

x,y=var('x y')

########################################################
# Na následujícím řádku můžete upravit funkční předpis #
########################################################

f(x,y)=x^2*y^2-x^2-y^2

############################################################
# dál už není potřeba nic upravovat, jenom spustit výpočet #
############################################################

def loc_extr(funkce):
    html(r'Funkce $z=%s$'%latex(funkce))
    sols=solve([diff(funkce,x),diff(funkce,y)],[x,y], solution_dict=True)
    fxx=diff(funkce,x,x)
    H=funkce.hessian().determinant()
    A=[["Stacionární bod","Hesián","$f''_{xx}$","rozhodnutí"]]
    for s in sols:
        if H.subs(s) < 0:
            druha_derivace='...'
            rozhodnuti='sedlo'
        elif H.subs(s) > 0:
            druha_derivace=fxx.subs(s)
            if fxx.subs(s) > 0:
                rozhodnuti='minimum'
            else:
                rozhodnuti='maximum'
        else:
            druha_derivace='...'
            rozhodnuti='???'
        A.append([[s[x],s[y]],H.subs(s),druha_derivace,rozhodnuti])
    html.table(A,header=True)

loc_extr(f(x,y))

Určete hodnost matice $\displaystyle \begin{pmatrix} 9&3&5\\-6&-9&7\\-1&-8&1\end{pmatrix}$.

A=matrix([[9, 3, 5], [-6, -9, 7], [-1, -8, 1]])
show(A)
show(rank(A))

Určete determinant $\displaystyle \begin{vmatrix} 9&3&5\\-6&-9&7\\-1&-8&1\end{vmatrix}$.

A=matrix([[9, 3, 5], [-6, -9, 7], [-1, -8, 1]])
show(A)
show(det(A))

Vypočtěte řešení soustavy rovnic $\displaystyle \begin{cases} x_1+3x_2+4x_3=1,\\ x_1-x_3=9, \\ x_1+x_3=8.\end{cases}$

x1,x2,x3 = var('x1,x2,x3')
soustava=[x1+3*x2+4*x3==1, x1-x3==9, x1+x3==8]
show(soustava)
reseni=solve (soustava,[x1,x2,x3])
show(reseni)

Ověřte na konkrétním příkladě ekvivalentní zápis soustavy rovnic pomocí maticového součinu a řešení pomocí inverzní matice.

var('x1 x2 x3')
A=matrix([[1,2,3],[3,-1,2],[1,3,2]])
X=matrix([[x1,x2,x3]]).transpose()
B=matrix([[11,12,13]]).transpose()
html("<h2>Matice $A$, $X$, $B$</h2>")
show([A,X,B])

html("<h2>Matice $AX$, $B$</h2>")
show([A*X,B])

html("<h2>Soustava $AX=B$</h2>")
soustava = [(A*X)[i][0] == B[i][0] for i in range(len(A.rows()))]
show(matrix([soustava]).transpose())

html("<h2>Řešení soustavy $AX=B$</h2>")
show(solve(soustava, [x1,x2,x3]))

html("<h2>Vektor $A^{-1}B$</h2>")
show(A^(-1)*B)

Napište desetiným číslem přibližnou hodnotu $\displaystyle \pi$.

Roznásobte závorky ve výrazu $\displaystyle x(x-1)(x+3)^2$.

Rozložte na součin výraz $\displaystyle x^4+5x^3+3x^2-9x$.

Vyřešte rovnici $\displaystyle 2e^{x^2-1}=3$.

Vyřešte rovnici $\displaystyle 2e^{x^2-1}=3$.

Řešíme přibližně desetinným číslem.

Derivujte funkci $\displaystyle y=x^2 \sin(x)$.

Derivujte funkci $\displaystyle y=\ln \sqrt\frac{x-1}{x+1}$ a derivaci upravte.

Vypočtěte druhou derivaci funkce $\displaystyle y=\frac{x^3}{(x+1)^2}$.

Navíc derivaci upravíme rozkladem na součin.

Určete Taylorův polynom stupně $\displaystyle 7$ pro funkci
$\displaystyle y=\ln\frac{1+x}{1-x}$ se středem v bodě $\displaystyle 0$.

Určete lokální extrémy funkce $\displaystyle y=x(210-2x)(297-2x)$

Vypočtěte stacionární body funkce $\displaystyle y=\frac{x^2}{x-1}$.

Vypočtěte integrál $\displaystyle \int x^2 \sin x\,\mathrm{d}x$.

Vypočtěte integrál $\displaystyle \int_1^{e} \sqrt x\ln(x)\,\mathrm{d}x$.

Vypočtěte obsah množiny mezi křivkami $\displaystyle y=1-x^2$ a $\displaystyle y=(1-x)^2$ na intervalu $\displaystyle [0,1]$.

Vypočtěte obsah množiny mezi křivkami $\displaystyle y=x^2$ a $\displaystyle y=5-2x$.

Vypočtěte dvojný integrál $\displaystyle \iint_M (x^3+1)y\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y$ na množině $\displaystyle M=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2: 0\leq x\leq 1, 0\leq y\leq x\}$.

Vypočtěte dvojný integrál $\displaystyle \iint_M x^3\, \mathrm{d}x\mathrm{d}y$ na množině $\displaystyle M=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2: 0\leq x\leq 1, 1-x\leq y\leq 1-x^2\}$.

Vyřešte diferenciální rovnici $\displaystyle y'=\frac yx+1$.

Vyřešte diferenciální rovnici $\displaystyle y'=\frac yx+1$ s počáteční podmínkou $\displaystyle y(1)=-3$

Vyřešte diferenciální rovnici $\displaystyle y''+3y'+2y=x$.

Vyřešte diferenciální rovnici $\displaystyle y''+3y'+2y=x$ s počáteční podmínkou $\displaystyle y(0)=0$, $\displaystyle y'(0)=3$.

Nakreslete graf funkce $\displaystyle y=x^3-2x^2$.

Nakreslete graf funkce $\displaystyle y=x^2 e^{-x}$ na intervalu $\displaystyle [-2,7]$.
Omezte vhodně rozsah na ose $\displaystyle y$.

Nakreslete grafy funkcí $\displaystyle y=x^2$ a $\displaystyle y=2x+1$ do jednoho obrázku.

Nakreslete graf parametrické rovinné křivky $\displaystyle x=\cos(t)$, $\displaystyle y=\sin (t)$ pro $\displaystyle t\in[0,\pi]$

Nakreslete graf parametrické prostorové křivky $\displaystyle x=\cos(t)$, $\displaystyle y=\sin (t)$, $\displaystyle z=t$ pro $\displaystyle t\in[0,4\pi]$

Nakreslete graf funkce dvou proměnných $\displaystyle z=x^2-y^2$ na množině $\displaystyle [-1,1]\times[-1,1]$.

Nakreslete vrstevnice funkce $\displaystyle z=\sqrt{x^2+y^2}+0.3 \sin(xy)$.

Nakreslete graf funkce dvou proměnných $\displaystyle z=x^2-y^2$ na množině $\displaystyle [-1,1]\times[-1,1]$.

Nakreslete vrstevnice funkce $\displaystyle z=\sqrt{x^2+y^2}+0.3 \sin(xy)$.

Vypočtěte parciální derivaci funkce $\displaystyle z=yx\sin(x+y^2)$ podle $\displaystyle y$.

Určete stacionární body funkce $\displaystyle z=x^2y^2-x^2-y^2$

Určete lokální extrémy funkce $\displaystyle z=x^2y^2-x^2-y^2$

Určete hodnost matice $\displaystyle \begin{pmatrix} 9&3&5\\-6&-9&7\\-1&-8&1\end{pmatrix}$.

Určete determinant $\displaystyle \begin{vmatrix} 9&3&5\\-6&-9&7\\-1&-8&1\end{vmatrix}$.

Vypočtěte řešení soustavy rovnic $\displaystyle \begin{cases} x_1+3x_2+4x_3=1,\\ x_1-x_3=9, \\ x_1+x_3=8.\end{cases}$