o

u

S

\textrm{Kolineace je určena osou }o,\textrm{ úběžnicí }u\textrm{ a středem }S\textrm{ kolineace.}\
\textrm{Sestrojte hyperbolu jako kolineárním obraz kružnice }k,\
\textrm{která protíná úběžnici ve dvou bodech }M\textrm{ a }N.

M

N

k

1.\ \textrm{Kružnice }k\textrm{ protíná úběžnici }u\textrm{ ve dvou bodech }M\textrm{ a }N,\
\hspace{0.6cm}\textrm{které se zobrazí do nevlastních bodů }M'_\infty\textrm{ a }N'_\infty\
\hspace{0.6cm}\textrm{kolineárních paprsků }SM\textrm{ a }SN.

M'_\infty

N'_\infty

2.\ \textrm{Body }M'_\infty\textrm{ a }N'_\infty\textrm{ jsou body hyperboly v nekonečnu,}\
\hspace{0.6cm}\textrm{určují proto směry asymptot hyperboly.}

m

n

3.\ \textrm{Tečny }m\textrm{ a }n\textrm{ kružnice v bodech }M\textrm{ a }N\
\hspace{0.6cm}\textrm{se zobrazí do tečen }m'\textrm{ a }n'\textrm{ hyperboly v bodech }M'_\infty\textrm{ a }N'_\infty\,,\
\hspace{0.6cm}\textrm{což jsou asymptoty hyperboly.}

m'

n'

O

O'

5.\ \textrm{Průsečík }O\textrm{ tečen kružnice }m\textrm{ a }n\textrm{ se zobrazí}\ 
\hspace{0.6cm}\textrm{do průsečíku }O'\textrm{ asymptot }m'\textrm{ a }n',\
\hspace{0.6cm}\textrm{což je střed hyperboly.}

4.\ m'\!\parallel\! SM,\ \ n'\!\parallel\! SN

o_1'

6.\ \textrm{Bodem }O'\textrm{ vedeme osu } o_1'\textrm{ asymptot }m'\textrm{ a }n',\
\hspace{0.6cm}\textrm{což je hlavní osa hyperboly.}

o_1

7.\ \textrm{Jejím obrazem je přímka }o_1\
\hspace{0.6cm}\textrm{procházející bodem }O.

A

B

A'

B'

8.\ \textrm{Přímka }o_1\textrm{ protíná kružnici }k\textrm{ v bodech }A\textrm{ a }B,\
\hspace{0.6cm}\textrm{které se zobrazí do bodů }A'\textrm{ a }B',\
\hspace{0.6cm}\textrm{což jsou hlavní vrcholy hyperboly.}

9.\ \textrm{Pomocí kolineárních paprsků }SA\textrm{ a }SB\
\hspace{0.6cm}\textrm{najdeme na }o_1'\textrm{ body }A'\textrm{ a }B'.

10.\ \textrm{Sestrojíme hyperbolu.}

X_1 = (0.1, 3.46)
a = Line(X_1, xAxis)
b = OrthogonalLine(X_1, a)
X_2 = Point(b)
X_1' = Point(a)
c = OrthogonalLine(X_1', a)
d = OrthogonalLine(X_2, b)
X_2' = Intersect(d, c)
e = Segment(X_1, X_1')
f = Segment(X_2, X_2')
S = (3.62, 4.5)
S' = (3.92, 2.74)
M = Point(e)
g = Circle(S', M)
N_1, N = Intersect(g, e)
pos = 10 (slider from 0 to 10, step 1)
Z_1:(-10, 10.3)
Z_2:(-2.8, 10.3)
Z_3:(-10, -1)
h = Segment(Z_1, Z_3)
i = Segment(Z_1, Z_2)
j = Ray(S, M)
k = Ray(S, N)
M' = Point(j)
N' = Point(k)
u = Vector(S, M')
v = Vector(S, N')
l = Segment(S', M)
m = Segment(S', N)
n = OrthogonalLine(M, l)
p = OrthogonalLine(N, m)
M'' = Point(n)
N'' = Point(p)
O = Intersect(n, p)
q = Segment(O, M'')
r = Segment(O, N'')
A_1 = Intersect(f, q)
B_1 = Intersect(f, r)
s = Line(A_1, u)
t = Line(B_1, v)
X_4' = Point(t)
X_4 = Point(t)
X_3' = Point(s)
X_3 = Point(s)
a_1 = Segment(X_3', X_3)
b_1 = Segment(X_4', X_4)
O' = Intersect(a_1, b_1)
c_1 = Segment(O', O)
d_1 = AngularBisector(X_4, O', X_3)
X_5 = Point(d_1)
X_5' = Point(d_1)
e_1 = Segment(X_5, X_5')
R = Intersect(f, e_1)
f_1 = Line(O, R)
X_6' = Point(f_1)
X_6 = Point(f_1)
g_1 = Segment(X_6', X_6)
A, B = Intersect(g, g_1)
h_1 = Ray(S, B)
i_1 = Ray(A, S)
B' = Intersect(h_1, e_1)
A' = Intersect(e_1, i_1)
X_7 = Point(h_1)
X_7' = Point(i_1)
j_1 = Segment(X_7', A)
k_1 = Segment(S, X_7)
l_1 = OrthogonalLine(B', e_1)
C = Intersect(l_1, a_1)
p_1 = Circle(O', C)
E, F = Intersect(p_1, d_1)
q_1 = Hyperbola(E, F, B')
X_5'' = Mirror(X_5, O')
m_1 = Segment(X_5, X_5'')
H = Point(m_1)
n_1 = OrthogonalLine(H, m_1)
H_1, H_2 = Intersect(q_1, n_1)
množina1 = Locus(H_1, H)
množina2 = Locus(H_2, H)