o

A

B

G

X'

P

\overline{\!P}

G'

K

L

A'

B'

k'

S

u'

m

n

m'

n'

N'

M'

p

Q

R

U

U'

p'

R'

Q'

\textrm{Užitím kolineace sestrojte průsečíky }Q\textrm{ a }R\textrm{ hyperboly s přímkou }p.

1.\ \textrm{Zvolíme střed }S\textrm{ kolineace na hlavní ose }AB\textrm{ hyperboly.}\
\hspace{0.6cm}\textrm{Osu }o\textrm{ kolineace zvolíme jako kolmici k }AB.

2.\ \textrm{Kolineaci určíme tak, aby hyperbole odpovídala kružnice.}\
\hspace{0.6cm}\textrm{Hlavní vrcholy }A\textrm{ a }B\textrm{ hyperboly se zobrazí do bodů }A'\textrm{ a }B'\textrm{ na přímce }AB,\
\hspace{0.6cm}\textrm{přičemž }A'B'\textrm{ je průměrem hledané kružnice }k',\textrm{ neboť tečny kružnice }k'\textrm{ v bodech }A'\textrm{ a }B'\
\hspace{0.6cm}\textrm{jsou vzájemně rovnoběžné a jsou rovnoběžné s osou kolineace.}\
\hspace{0.6cm}\textrm{Bod }G\textrm{ na hyperbole se zobrazí do bodu }G'\textrm{ na kružnici }k'\textrm{ tak, že }\angle A'G'B'=90^\circ.

3.\ \textrm{Polopřímky }AG\textrm{ a }BG\textrm{ protínají osu }o\textrm{ kolineace v samodružných bodech }P\textrm{ a }\overline{\!P}.\
\hspace{0.6cm}\textrm{Bod }P\textrm{ musí ležet na přímce }A'G'\textrm{ a }\overline{\!P}\textrm{ na přímce }B'G',\
\hspace{0.6cm}\textrm{které jsou vzájemně kolmé, takže je }\angle P\,G'\,\overline{\!P}=90^\circ.\
\hspace{0.6cm}\textrm{To znamená, že bod }G'\textrm{ musí ležet na \textbf{Thaletově kružnici }nad průměrem }P\,\overline{\!P}.\
\hspace{0.6cm}\textrm{Dále bod }G'\textrm{ leží na kolineárním paprsku }SG\textrm{ a získáme ho tedy jako průsečík.}

5.\ \textrm{Přímky }P\,G'\textrm{ a }\overline{\!P}\,G'\textrm{ se protínají s přímkou }AB\textrm{ v bodech }A'\textrm{ a }B',\
\hspace{0.6cm}\textrm{které určují průměr kružnice }k'.\
\hspace{0.6cm}\textrm{Kružnice }k'\textrm{ dále prochází bodem }G'\
\hspace{0.6cm}\textrm{a samodružnými body }K\textrm{ a }L,\textrm{ v nichž hyperbola protíná osu }o\textrm{ kolineace.}

7.\ \textrm{Můžeme také určit bod }X',\textrm{ který odpovídá nevlastnímu bodu }X_\infty\textrm{ přímky }AB.\
\hspace{0.6cm}\textrm{Spojnice bodu }X_\infty\textrm{ s bodem }G\textrm{ je rovnoběžka s přímkou }AB\textrm{ vedená bodem }G,\
\hspace{0.6cm}\textrm{která protíná osu }o\textrm{ kolineace v samodružném bodě.}\
\hspace{0.6cm}\textrm{Ten pak spojíme s bodem }G'\textrm{ a tato přímka protne přímku }AB\textrm{ v bodě }X'.\ 
\hspace{0.6cm}\textrm{Úběžnice }u'\textrm{ je rovnoběžka s osou }o\textrm{ kolineace, která prochází bodem }X'.\
\hspace{0.6cm}\textrm{Všechny nevlastní body roviny se kolineárně zobrazí do bodů úběžnice }u'.

9.\ \textrm{Tečny }m'\textrm{ a }n'\textrm{ kružnice }k'\textrm{ v bodech }M'\textrm{ a }N',\textrm{což jsou průsečíky úběžnice }u'\textrm{ s kružnicí }k',\
\hspace{0.6cm}\textrm{se kolineárně zobrazí do tečen hyperboly v jejích nevlastních bodech }M_\infty\textrm{ a }N_\infty,\
\hspace{0.6cm}\textrm{neboli do asymptot }m\textrm{ a }n\textrm{ hyperboly.}\
\hspace{0.6cm}\textrm{Body }M_\infty\textrm{ a }N_\infty\textrm{ jsou nevlastní body kolineárních paprsků }SM'\textrm{ a }SN'\
\hspace{0.6cm}\textrm{a asymptoty hyperboly }m\textrm{ a }n\textrm{ jsou s nimi rovnoběžné.}\ 
\hspace{0.6cm}\textrm{Kromě toho prochází také samodružnými body }m'\cap o\textrm{ a }n'\cap o. 

12.\ \textrm{Najdeme přímku }p',\textrm{ která je kolineárním obrazem přímky }p.\
\hspace{0.85cm}\textrm{Na přímce }p\textrm{ zvolíme libovolný pomocný bod }U,\textrm{ k němuž sestrojíme jeho obraz }U'.\
\hspace{0.85cm}\textrm{Přímka }UB\textrm{ protíná osu }o\textrm{ kolineace v samodružném bodě, který spojíme s bodem }B'.\
\hspace{0.85cm}\textrm{Bod }U'\textrm{ je pak průsečíkem této spojnice a kolineárního paprsku }SU.\
\hspace{0.85cm}\textrm{Přímka }p'\textrm{ prochází bodem }U'\textrm{ a samodružným bodem }p\cap o.

14.\ \textrm{Přímka }p'\textrm{ se protíná s kružnicí }k'\textrm{ v bodech }Q'\textrm{ a }R',\
\hspace{0.85cm}\textrm{které přeneseme kolineárními paprsky do bodů }Q\textrm{ a }R\textrm{ na přímku }p,\
\hspace{0.85cm}\textrm{čímž získáme průsečíky přímky }p\textrm{ s hyperbolou.}

O_1 = Point(xAxis)
O_2 = Point(xAxis)
a = Segment(O_1, O_2)
O = Point(a)
b = OrthogonalLine(O, a)
O' = Point(b)
O'' = Mirror(O', a)
c = Segment(O', O'')
A = Point(a)
B = Point(a)
S = Midpoint(A, B)
E = Point(a)
F = Mirror(E, S)
d = Hyperbola(E, F, B)
e = OrthogonalLine(S, a)
U_5 = Point(e)
U_6 = Mirror(U_5, S)
f = Segment(U_5, U_6)
H = Point(f)
g = OrthogonalLine(H, f)
H'', H' = Intersect(d, g)
množina1 = Locus(H', H)
množina2 = Locus(H'', H)
X' = Point(a)
h = Circle(S, E)
i = OrthogonalLine(A, a)
j = OrthogonalLine(B, a)
U_4, U_1 = Intersect(h, i)
U_3, U_2 = Intersect(h, j)
k = OrthogonalLine(U_5, f)
l = OrthogonalLine(U_6, f)
m = Line(S, U_2)
n = Line(S, U_1)
U_7 = Intersect(k, n)
U_8 = Intersect(k, m)
U_9 = Intersect(n, l)
U_{10} = Intersect(l, m)
p = Segment(U_7, U_9)
q = Segment(U_{10}, U_8)
G = Point(d)
r = Line(G, a)
P = Intersect(r, c)
G'' = Point(r)
s = Segment(P, G'')
a_1 = Ray(B, G)
b_1 = Ray(A, G)
P'' = Intersect(a_1, c)
P' = Intersect(c, b_1)
t = Segment(P'', B)
c_1 = Segment(P', A)
d_1 = Ray(X', P)
S' = Midpoint(P'', P')
e_1 = Circle(S', P')
L, K = Intersect(d, b)
G_2, G_1 = Intersect(e_1, d_1)
f_1 = Ray(P', G_1)
g_1 = Ray(G_1, P'')
A' = Intersect(a, f_1)
B' = Intersect(a, g_1)
h_1 = Segment(P', A')
i_1 = Segment(G_1, B')
k_1 = Circle(A', B', G_1)
j_1 = Segment(G_1, X')
l_1 = Ray(G_1, G)
S'' = Intersect(a, l_1)
m_1 = Segment(G_1, S'')
n_1 = OrthogonalLine(X', a)
p_1 = OrthogonalLine(O', c)
O_3 = Intersect(p_1, n_1)
O_4 = Mirror(O_3, X')
q_1 = Segment(O_3, O_4)
M', N' = Intersect(k_1, q_1)
S''' = Midpoint(A', B')
r_1 = Segment(S''', N')
s_1 = Segment(M', S''')
P_1 = Intersect(q, c)
P_2 = Intersect(c, p)
t_1 = OrthogonalLine(N', r_1)
a_2 = Line(S'', q)
b_2 = OrthogonalLine(M', s_1)
S_1 = Intersect(b_2, t_1)
c_2 = Segment(P_1, S_1)
d_2 = Segment(P_2, S_1)
N'' = Point(a_2)
e_2 = Segment(N'', S'')
f_2 = Line(M', S'')
M'' = Point(f_2)
g_2 = Segment(M'', S'')
R_1 = (-2.26, -3.52)
R_2 = (9.98, 2.34)
h_2 = Segment(R_1, R_2)
P_3 = Intersect(h_2, c)
R', R = Intersect(d, h_2)
U = Point(h_2)
i_2 = Ray(B, U)
P_4 = Intersect(i_2, c)
j_2 = Line(B', P_4)
k_2 = Ray(S'', U)
l_2 = Segment(P_4, B)
U' = Intersect(j_2, k_2)
m_2 = Segment(B', U')
n_2 = Segment(S'', U')
p_2 = Line(U', P_3)
R_3 = Point(p_2)
R_4 = Point(p_2)
q_2 = Segment(R_3, R_4)
R'', R''' = Intersect(k_1, q_2)
r_2 = Segment(R''', S'')
s_2 = Segment(R'', R')
V_1: (-11.3, 9.4)
V_2: (0.2, 9.4)
V_3: (-11.3, 4.8)
t_2 = Segment(V_1, V_2)
f_3 = Segment(V_1, V_3)
pos = 15 (slider from 0 to 15, step 1)