x

z

O

y

S

V

p^\rho

m^\rho

n^\rho

A

M

B

T

G

C

D

\textbf{Eliptický řez rotačn\!ího kužele v axonometrii}

X

P

\textrm{Hledáme spádovou přímku I. osnovy roviny }\rho,\
\textrm{která protíná osu kužele }SV.\
\textrm{Její půdorys }s_1^I\textrm{ je kolmý na půdorysnou stopu }p^\rho.\
\textrm{Směr přímky }s_1^I\textrm{ najdeme pomocí výšky v }\triangle OXP,\
\textrm{ve kterém sestrojíme průsečík }R\textrm{ výšek na strany }OP\textrm{ a }OX.\
\textrm{Výška na stranu }OP\textrm{ je kolmá na osu }z,\
\textrm{výška na stranu }OX\textrm{ je rovnoběžná s osou }y.\
\textrm{Půdorys spádové přímky }s_1^I\textrm{ prochází bodem }S\textrm{ rovnoběžně s }RO.

R

s_1^I

P

M_1

M

s^I

C^o

P^o

s_1^{Io}

K^o

K

L

K'

L'

R'

U^o

U

Q

R

Q'

U'

T'

G'

P

M_1

M

\textrm{Máme sestrojit řez rotačního kužele zadanou rovinou }\rho.\
\textrm{Podstavou kužele je kružnice v půdorysně }(x,y),\
\textrm{která se promítá do elipsy sestrojené pomocí proužkové konstrukce.}\
\textrm{Obrysové površky kužele jsou tečny z vrcholu }V\textrm{ k elipse.}\
\textrm{Existuje konstrukce, kterou lze najít přesnou polohu bodů dotyku }T\textrm{ a }G.

\textrm{Pomocí stopníků odvodíme polohu přímky }s^I\
\textrm{v prostoru tak, aby ležela v rovině }\rho.

\textrm{V kolineaci mezi rovinou postavy a rovinou řezu}\
\textrm{odpovídá podstavná elipsa elipse řezu.}\
\textrm{Průsečíky }K\textrm{ a }L\textrm{ podstavné elipsy s přímkou }s_1^I\
\textrm{přejdou do bodů řezu }K'\textrm{ a }L'\textrm{ na přímce }s^I,\
\textrm{což je nejvyšší a nejnižší bod na řezné elipse.}\ 
\textrm{Tečny v bodech }K'\textrm{ a }L'\textrm{ k řezné elipse}\
\textrm{jsou rovnoběžné s půdorysnou stopou }p^\rho.\
\textrm{Pro přesnou konstrukci bodů }K\textrm{ a }L\
\textrm{lze užít afinitu mezi podstavnou elipsou a kružnicí.}

t_{L'}

t_{K'}

\textrm{Úsečka }K'L'\textrm{ je průměrem řezné elipsy a bod }R',\
\textrm{který je středem úsečky }K'L'\textrm{ na přímce }s^I,\textrm{ je středem řezné elipsy.}\
\textrm{V kolineaci se bod }R'\textrm{ z vrcholu }V\textrm{ promítne do bodu }R\textrm{ na }s_1^I.\
\textrm{Tětiva podstavné elipsy procházející bodem }R\textrm{ rovnoběžná s }p^\rho\
\textrm{se promítne do průměru řezné elipsy, který je sdružený k průměru }K'L'. 

\textrm{Pomocí afinity mezi elipsou a kružnicí}\
\textrm{lze přesně určit polohu krajních bodů tětivy }UQ\
\textrm{na podstavné elipse.}

\textrm{V kolineaci přejde tětiva }UQ\textrm{ podstavné elipsy}\
\textrm{do průměru }U'Q'\textrm{ řezné elipsy.}\
\textrm{Tečny v bodech }U'\textrm{ a }Q'\textrm{ k řezné elipse jsou rovnoběžné s }s^I.\
\textrm{Jejich polohu by bylo rovněž možné odvodit pomocí kolineace}\
\textrm{z polohy tečen k podstavné elipse v bodech }U\textrm{ a }Q,\
\textrm{přičemž osou kolineace je }p^\rho.\
\textrm{Víme přitom, že tečna v bodě elipsy půlí vnější úhel průvodičů,}\
\textrm{což jsou spojnice tohoto bodu s ohnisky elipsy.}

t_{Q'}

t_{U'}

\textrm{Odvodíme polohu bodů dotyku }T'\textrm{ a }G'\textrm{ řezné elipsy}\ 
\textrm{s obrysovými površkami kužele. Jsou to body přechodu viditelnosti.}\
\textrm{Z půdorysu přímky, která prochází body }T\textrm{ a }G\
\textrm{na podstavné elipse a je kolmá k ose }z,\
\textrm{odvodíme její prostorový průmět tak, aby ležela v rovině }\rho.\
\textrm{Průsečíky s obrysovými površkami jsou body }T'\textrm{ a }G'\
\textrm{a obrysové površky jsou tečnami k řezné elipse.} 

\textrm{Ze sdružených průměrů }K'L'\textrm{ a }U'Q'\textrm{ řezné elipsy}\
\textrm{by bylo možné pomocí Rytzovy konstrukce sestrojit kolmé průměry.}

O = Point(yAxis)
Z = Point(yAxis)
X = (-4.906, -4.726)
Y = (6.674, -3.326)
o_x = Segment(O, X)
o_z = Segment(O, Z)
o_y = Segment(O, Y)
S = (1.12, -3.28)
f = OrthogonalLine(S, o_z)
A = Point(f)
B = Mirror(A, S)
u = Vector(O, X)
g = Segment(A, B)
h = OrthogonalLine(S, g)
v = Vector(O, Z)
w = Vector(O, Y)
i = Line(A, u)
j = Line(B, w)
M = Intersect(i, j)
c = Circle(M, Segment[B, S])
P, P' = Intersect(c, h)
k = Segment(M, P)
Q_{1} = Intersect(g, k)
d = Circle(S, Segment[M, Q_{1}])
D, C = Intersect(d, h)
e = Circle(C, Segment[B, S])
E, F = Intersect(e, g)
p = Ellipse(E, F, D)
m = Segment(M, B)
l = Segment(A, M)
V = Point(h)
n, q = Tangent(V, p)
T = Intersect(p, n)
G = Intersect(p, q)
r = Segment(V, T)
s = Segment(V, G)
t = Segment(V, S)
a = Segment(S, D)
pos = 21 (slider from 0 to 21, step 1)
b = Ray(Y, O)
Y' = Point(b)
f_1 = Segment(Y', O)
W_1 = (0.114, -7.346)
g_1 = Segment(Y', W_1)
W_2 = (6.014, 2.814)
h_1 = Segment(Y', W_2)
W_3 = Intersect(g_1, o_x)
W_4 = Intersect(h_1, o_z)
i_1 = Segment(W_4, W_3)
j_1 = Segment(W_3, W_1)
k_1 = Segment(W_4, W_2)
l_1 = Segment(Y', W_3)
m_1 = Segment(Y', W_4)
n_1 = Ray(Z, O)
R_1 = Intersect(j_1, n_1)
p_1 = Segment(O, R_1)
q_1 = Segment(O, W_3)
u_1 = Vector(W_3, X)
r_1 = Segment(W_3, R_1)
s_1 = Segment(R_1, W_1)
t_1 = OrthogonalLine(W_3, p_1)
a_1 = OrthogonalLine(R_1, u_1)
c_2 = Arc(p, T, G)
d_2 = Arc(p, G, T)
e_2 = Semicircle(B, A)
j_2 = Line(M, t)
C_0 = Intersect(e_2, h)
n_3 = Line(R_1, w)
R_3 = Intersect(t_1, n_3)
R_2 = Intersect(t_1, p_1)
b_1 = Segment(R_3, R_1)
c_1 = Segment(R_3, R_2)
d_1 = Segment(R_3, O)
e_1 = Line(S, d_1)
P_1 = Intersect(e_1, r_1)
M_1 = Intersect(e_1, o_y)
W_5 = Point(e_1)
f_2 = Segment(W_5, M_1)
g_2 = Line(M_1, t)
M' = Intersect(k_1, g_2)
h_2 = Segment(M', M_1)
i_2 = Segment(P_1, M')
k_2 = Segment(P_1, C)
W_6 = Intersect(k_2, g)
l_2 = Ray(C_0, W_6)
m_2 = Line(P_1, t)
P_2 = Intersect(l_2, m_2)
n_2 = Segment(C_0, P_2)
p_2 = Segment(P_1, P_2)
q_2 = Ray(P_2, S)
K_0 = Intersect(e_2, q_2)
r_2 = Line(K_0, t)
K = Intersect(f_2, r_2)
s_2 = Segment(P_2, K_0)
t_2 = Segment(K, K_0)
L = Mirror(K, S)
a_2 = Segment(L, V)
b_2 = Segment(K, V)
L' = Intersect(a_2, i_2)
K' = Intersect(b_2, i_2)
R' = Midpoint(K', L')
f_3 = Ray(V, R')
R = Intersect(f_2, f_3)
v_1 = Vector(V, R)
g_3 = Line(R, j_1)
W_7 = Point(g_3)
W_7' = Mirror(W_7, R)
h_3 = Segment(W_7, W_7')
i_3 = Line(C, h_3)
W_8 = Intersect(g, i_3)
j_3 = Segment(W_8, C_0)
k_3 = Segment(C, W_8)
W_8' = Intersect(h_3, g)
l_3 = Line(W_8', j_3)
U_0 = Intersect(e_2, l_3)
m_3 = Segment(W_8', U_0)
p_3 = Line(U_0, t)
U = Intersect(p_3, h_3)
q_3 = Segment(U, U_0)
Q = Mirror(U, R)
r_3 = Segment(U, Q)
s_3 = Segment(Q, V)
t_3 = Segment(U, V)
a_3 = Line(R', j_1)
U' = Intersect(t_3, a_3)
Q' = Intersect(a_3, s_3)
b_3 = Segment(U', Q')
c_3 = Line(T, G)
P_3 = Intersect(c_3, j_1)
M'' = Intersect(c_3, o_y)
d_3 = Line(M'', t)
M''' = Intersect(k_1, d_3)
e_3 = Segment(P_3, M'')
f_4 = Segment(M''', M'')
g_4 = Segment(P_3, M''')
T' = Intersect(r, g_4)
G' = Intersect(s, g_4)
c_4 = Conic(T', L', Q', K', U')
d_4 = Arc(c_4, T', G')
e_4 = Arc(c_4, G', T')
h_4 = Line(L', j_1)
i_4 = Line(K', h_4)
L_1 = Point(h_4)
L_2 = Mirror(L_1, L')
j_4 = Line(L_1, i_2)
K_1 = Intersect(j_4, i_4)
K_2 = Mirror(K_1, K')
k_4 = Segment(L_1, L_2)
l_4 = Segment(K_1, K_2)
n_4 = Tangent(U, d_2)
U_2 = Intersect(n_4, j_1)
m_4 = Tangent(Q, c_2)
Q_2' = Intersect(m_4, j_1)
p_4 = Line(Q_2', i_2)
q_4 = Line(U', i_2)
U_3 = Point(q_4)
r_4 = Line(U_3, j_1)
Q_3' = Intersect(p_4, r_4)
U_1 = Point(n_4)
Q_1' = Point(m_4)
s_4 = Segment(Q_1', Q_2')
t_4 = Segment(U_1, U_2)
a_4 = Segment(U_2, U_3)
b_4 = Segment(Q_2', Q_3')